Giải bài 5 trang 9

Đề bài

Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua điểm $\left(1;2\right)$ và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm $\left(x;f\left(x\right)\right)$ là $\frac{1-x}{x^2}$ với $x>0$. Tìm hàm số $f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1-x}{x^2}$ với $x>0$ và $f\left(1\right)=2$.

$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)dx=\int \frac{1-x}{x^2}dx=\int \left(x^{-2}-\frac{1}{x}\right)dx=-\frac{1}{x}-\ln x+C\\ f\left(1\right)=2\iff -\frac{1}{1}-\ln 1+C=2\iff C=3\end{array}$

Vậy $f\left(x\right)=-\frac{1}{x}-\ln x+3$.