Giải bài 5 trang 9

Biết rằng đồ thị của hàm số (y = fleft( x right)) đi qua điểm (left( {1;2} right)) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm (left( {x;fleft( x right)} right)) là (frac{{1 - x}}{{{x^2}}}) với (x > 0). Tìm hàm số (fleft( x right)).

Đề bài

Biết rằng đồ thị của hàm số $y = f (x)$ đi qua điểm $(1; 2)$ và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm $(x; f (x))$ là $\frac{1 - x}{x^{2}}$ với $x > 0$ . Tìm hàm số $f (x)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các công thức:

• $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

• $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có: $f^{'} (x) = \frac{1 - x}{x^{2}}$ với $x > 0$ và $f (1) = 2$ .

$\begin{array}{l} f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x = \int (x^{- 2} - \frac{1}{x}) d x = - \frac{1}{x} - \ln x + C \\ f (1) = 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{1} - \ln 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 3 \end{array}$

Vậy $f (x) = - \frac{1}{x} - \ln x + 3$ .