Giải bài 5 trang 94

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:

a) $MP\parallel AD,MP=\frac{1}{4}AD$

b) $AQ=\frac{2}{5}AN$

c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và $PR=\frac{3}{4}AD$.

Lời giải chi tiết

Vì M và P lần lượt là trung điểm của AB và AN nên MP là đường trung bình của tam giác ABN.

$\Rightarrow MP\parallel BN$ hay $MP\parallel BC$.

Mà ABCD là hình bình hành nên $AD\parallel BC$

$\Rightarrow MP\parallel AD$

Ta có: $MP=\frac{1}{2}NB$

Mà N là trung điểm BC nên $NB=\frac{1}{2}BC$

$\Rightarrow MP=\frac{1}{4}BC\Rightarrow MP=\frac{1}{4}AD$

b) Vì $MP\parallel AD$ nên $\frac{MP}{AD}=\frac{QP}{AQ}$ (hệ quả của định lý Thales)

$\Rightarrow \frac{QP}{AQ}=\frac{1}{4}\Rightarrow AQ=4QP\left(1\right)$

Ta có: $QP=AP-AQ=\frac{1}{2}AN-AQ$ (P là trung điểm AN)

Thay vào (1) ta được $AQ=4.\left(\frac{1}{2}AN-AQ\right)$

$\Rightarrow AQ=2AN-4AQ\Rightarrow 5AQ=2AN\Rightarrow AQ=\frac{2}{5}AN$ (đpcm)

c) Vì M và R lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $MR\parallel AD,MR=AD$

Mà ta đã chứng minh $MP\parallel AD$ nên ba điểm M, P, R thẳng hàng.

Theo câu a) ta có $MP=\frac{1}{4}AD\Rightarrow MP=\frac{1}{4}MR$

$\Rightarrow PR=\frac{3}{4}MR\Rightarrow PR=\frac{3}{4}AD$.