Giải bài 50 trang 69

Cho biểu thức C=(√x−2x−1−√x+2x+2√x+1).(1−x)22C=(x−2x−1−x+2x+2x+1).(1−x)22C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} với x≥0,x≠1x≥0,x≠1x \ge 0,x \ne 1. a) Rút gọn biểu thức C. b) Tìm giá trị lớn nhất của C. c)

Đề bài

Cho biểu thức $C = (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2 \sqrt{x} + 1}) . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2}$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tìm giá trị lớn nhất của C.

c) Tìm giá trị của $x$ để C có giá trị là các số dương.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức trong ngoặc.

b) Biến đổi $C = - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) = - (x - \sqrt{x}) = - (x - 2. \frac{1}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} = - {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Biện luận giá trị lớn nhất của C.

c) Áp dụng $A . B > 0$ khi A,B cùng dấu.

Lời giải chi tiết

a) $C = (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2 \sqrt{x} + 1}) . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2}$

$= (\frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}) . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2}$

$= (\frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{2}} - \frac{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 1)}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} (\sqrt{x} - 1)}) . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} = (\frac{x - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{2}} - \frac{x + \sqrt{x} - 2}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} (\sqrt{x} - 1)}) . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2} \\ = \frac{x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{2}} . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2} \\ = \frac{- 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) {(\sqrt{x} + 1)}^{2}} . \frac{{(1 - x)}^{2}}{2} \\ = \frac{- \sqrt{x} {(1 - x)}^{2}}{(x - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{- \sqrt{x} (x - 1)}{\sqrt{x} + 1} \\ = - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) \end{array}$

Vậy $C = - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)$ với $x \geq 0, x \neq 1$ .

b) $C = - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) = - (x - \sqrt{x})$

$= - (x - 2. \frac{1}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} = - {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$

Với $x \geq 0, x \neq 1$ ta có ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ suy ra $- {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} \leq 0$ , do đó $- {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ hay $x = \frac{1}{4}$ (tmdk).

Vậy giá trị lớn nhất của C là $\frac{1}{4}$ khi $x = \frac{1}{4}$ .

c) Ta có $C = - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) = \sqrt{x} (1 - \sqrt{x})$

Ta thấy $\sqrt{x} \geq 0$ với $x \geq 0$ nên $C > 0$ khi $\sqrt{x} > 0$ và $1 - \sqrt{x} > 0$

$\sqrt{x} > 0$ hay $x > 0$

$1 - \sqrt{x} > 0$ hay $x < 1$

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có $0 < x < 1$ . Vậy $0 < x < 1$ thỏa mãn đề bài.