Giải Bài 50 trang 83

Đề bài

Cho bảng gồm 2 015 x 2015 ô vuông nhỏ (Hình 9).

Điền vào mỗi ô của hàng số 1 hoặc số -1.

Bên trái mỗi dòng thứ i ghi tích các số của dòng đó và đặt là x_i . Dưới mỗi cột thứ j ghi tích các số của cột đó và đặt là y_j .

(i = 1;2;3;…2 015 và j = 1;2;3;…; 2 015)

Chứng tỏ rằng tổng của 4030 số x_i; y_j nhận được khác 0

Lời giải chi tiết

Giả sử tổng của 4030 số x_i; y_j nhận được = 0

Ta có: x₁ + x₂ +…+ x₂₀₁₅ + y₁ + y₂ +…+y₂₀₁₅ =0; x_i, y_j đều bằng 1 hoặc -1. Do vậy, số vị trí nhận giá trị 1 bằng số vị trí nhận giá trị -1. Ta được, trong 4030 số x_i; y_j thì có 2015 số bằng 1 và 2015 số bằng -1.

Tích x₁x₂….x₂₀₁₅.y₁.y₂…y₂₀₁₅ = -1 (*)

Mà x₁x₂….x₂₀₁₅ = y₁.y₂…y₂₀₁₅ (đều là tích các số trong bảng) nên x₁x₂….x₂₀₁₅.y₁.y₂…y₂₀₁₅ = (x₁x₂….x₂₀₁₅)² =1 (mâu thuẫn với (*))

Vậy tổng của 4030 số x_i; y_j là khác 0