Giải bài 51 trang 66

Cho mặt cầu (S)(S)\left( S \right) có phương trình: x2+(y+4)2+(z+5)2=49x2+(y+4)2+(z+5)2=49{x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49. a) Xác định toạ độ tâm II{\rm{I}} và tính bán kính RR{\rm{R}} của mặt cầu (S)(S)\left( S \right). b) Điểm A(0;3;−5)A(0;3;−5)A\left( {0;3; -

Đề bài

Cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 5)}^{2} = 49$ .

a) Xác định toạ độ tâm $I$ và tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ .

b) Điểm $A (0; 3; - 5)$ có thuộc mặt cầu $(S)$ hay không?

c) Điểm $B (1; - 4; - 1)$ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $(S)$ ?

d) Điểm $C (7; 3; - 5)$ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $(S)$ ?

e) Lập phương trình tham số của đường thẳng $I C$ .

g) Xác định toạ độ các giao điểm $M, N$ của đường thẳng $I C$ và mặt cầu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Mặt cầu $(S) : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ có tâm $I (a; b; c)$ bán kính $R$ .

‒ Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ , bán kính $R$ và một điểm $A$ .

+ Nếu $I A < R$ : $A$ nằm trong mặt cầu.

+ Nếu $I A = R$ : $A$ nằm trên mặt cầu.

+ Nếu $I A > R$ : $A$ nằm ngoài mặt cầu.

‒ Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ là: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu $x^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 5)}^{2} = 49$ có tâm $I (0; - 4; - 5)$ và bán kính $R = \sqrt{49} = 7$ .

b) Ta có: $I A = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(3 - (- 4))}^{2} + {(- 5 - (- 5))}^{2}} = 7 = R$ .

Vậy $A$ thuộc mặt cầu $(S)$ .

c) Ta có: $I B = \sqrt{{(1 - 0)}^{2} + {(- 4 - (- 4))}^{2} + {(- 1 - (- 5))}^{2}} = \sqrt{17} < R$ .

Vậy $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$ .

d) Ta có: $I C = \sqrt{{(7 - 0)}^{2} + {(3 - (- 4))}^{2} + {(- 5 - (- 5))}^{2}} = \sqrt{65} > R$ .

Vậy $C$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ .

e) Ta có $\vec{I C} = (7; 7; 0) = 7 (1; 1; 0)$ . Do đó $\vec{u} = (1; 1; 0)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $I C$ .

Đường thẳng đi qua điểm $I (0; - 4; - 5)$ và nhận $\vec{u} = (1; 1; 0)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = t \\ y = - 4 + t \\ z = - 5 \end{cases}$ .

g) Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $I C$ và mặt cầu nên điểm $M$ nằm trên đường thẳng $I C$ . Vậy điểm $M$ có toạ độ là: $M (t; - 4 + t; - 5)$

Điểm $M$ nằm trên mặt cầu nên ta có: $t^{2} + {(- 4 + t + 4)}^{2} + {(- 5 + 5)}^{2} = 49$ hay $t^{2} = \frac{49}{2}$ .

Suy ra $t = \frac{7 \sqrt{2}}{2}$ hoặc $t = - \frac{7 \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng $I C$ và mặt cầu là: $M (\frac{7 \sqrt{2}}{2}; - 4 + \frac{7 \sqrt{2}}{2}; - 5)$ và $N (- \frac{7 \sqrt{2}}{2}; - 4 - \frac{7 \sqrt{2}}{2}; - 5)$ .