Giải bài 52 trang 123

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di chuyển trên đường tròn (M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD của đường tròn (M) lần lượt tại C, D. a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O). b) Chứng minh CD là tiếp tuyế

Đề bài

a) Chứng minh AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O).

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $B D = B H$ và $C A = A H$ , từ đó tính được $A C + B D$ .

b) Bước 1: Chứng minh C, M, D thẳng hàng.

Bước 2: Chứng minh $\hat{A M O} = \hat{M A C} (= \hat{M A O})$ .

Bước 3: Chỉ ra $\hat{A M O} + \hat{C M A} = \hat{C M O} = 90^{\circ}$ , từ đó suy ra $M O ⊥ C D$ .

Lời giải chi tiết

a) Do H là điểm tiếp xúc của (M) và AB nên BH, AH là tiếp tuyến của (M).

Ta có: BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại B nên $B D = B H$ .

Ta lại có: AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) cắt nhau tại A nên $C A = A H$ .

Suy ra $A C + B D = A H + B H = A B$ . Mà AB không đổi (là bán kính của (O)) nên AC + BD không đổi.

b) Vì AC, HA là 2 tiếp tuyến của (M) nên $\hat{A M C} = \hat{A M H}$ , BD, DH là 2 tiếp tuyến của (M) nên $\hat{B M H} = \hat{D M B}$ .

Mà góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\hat{A M B} = 90^{\circ}$ .

Do đó $\hat{A M H} + \hat{B M H} = \hat{A M C} + \hat{D M B} = \hat{A M B} = 90^{\circ}$ ,

suy ra $\hat{A M H} + \hat{B M H} + \hat{A M C} + \hat{D M B} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ hay C, M, D thẳng hàng.

Ta có $Δ A M O$ cân tại O (do MO, AO là bán kính (O)) nên $\hat{A M O} = \hat{M A O}$ .

Mặt khác $\hat{M A O} = \hat{M A C}$ (do AC, AH là tiếp tuyến (M)) nên $\hat{A M O} = \hat{M A O} = \hat{M A C}$

mà $\hat{M A C} + \hat{C M A} = 90^{\circ}$ ( $Δ C A M$ vuông) nên $\hat{A M O} + \hat{C M A} = \hat{C M O} = 90^{\circ}$ , suy ra $M O ⊥ C M$

hay $M O ⊥ C D$ .

Mà OM là bán kính (O), vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).