Giải bài 52 trang 67

Lập phương trình mặt cầu (S)(S)\left( S \right) trong mỗi trường hợp sau: a) (S)(S)\left( S \right) có tâm I(3;−4;5)I(3;−4;5)I\left( {3; - 4;5} \right) bán kính 9. b) (S)(S)\left( S \right) có tâm K(−4;6;7)K(−4;6;7)K\left( { - 4;6;7} \right) và đi qua điểm H(−5;4;5)H(−5;4;5)H\left( { - 5;4;5} \right

Đề bài

Lập phương trình mặt cầu $(S)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(S)$ có tâm $I (3; - 4; 5)$ bán kính 9.

b) $(S)$ có tâm $K (- 4; 6; 7)$ và đi qua điểm $H (- 5; 4; 5)$ .

c) $(S)$ có đường kính $A B$ với $A (1; 3; - 1)$ và $B (- 1; - 1; - 5)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để viết phương trình mặt cầu, ta tìm tâm và bán kính mặt cầu.

‒ Phương trình của mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ bán kính $R$ là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $I (3; - 4; 5)$ bán kính 9 là:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 9^{2}$ hay ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 81$ .

b) Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = K H = \sqrt{{(- 5 - (- 4))}^{2} + {(4 - 6)}^{2} + {(5 - 7)}^{2}} = 3$ .

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${(x + 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 3^{2}$ hay ${(x + 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 9$ .

c) Mặt cầu đường kính $A B$ có tâm $I (0; 1; - 3)$ là trung điểm của $A B$ .

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = I A = \sqrt{{(1 - 0)}^{2} + {(3 - 1)}^{2} + {(- 1 - (- 3))}^{2}} = 3$ .

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 3^{2}$ hay $x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9$ .