Giải bài 53 trang 67

Đề bài

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $O (0; 0; 0)$ và bán kính 2.

a) Lập phương trình mặt cầu $(S)$ .

b) Lấy các điểm $A (1; 0; - 1)$ và $B (1; 1; 0)$ . Lập phương trình đường thẳng $A B$ . Tìm toạ độ các điểm $C$ và $D$ là giao điểm của đường thẳng $A B$ và mặt cầu $(S)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Phương trình của mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ bán kính $R$ là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

‒ Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ là: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $O (0; 0; 0)$ và bán kính 2 là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2^{2}$ hay $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ .

b) Ta có $\vec{A B} = (0; 1; 1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A B$ .

Đường thẳng đi qua điểm $A (1; 0; - 1)$ và nhận $\vec{A B} = (0; 1; 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = - 1 + t \end{cases}$ .

Điểm $C$ là giao điểm của đường thẳng $A B$ và mặt cầu nên điểm $C$ nằm trên đường thẳng $A B$ . Vậy điểm $C$ có toạ độ là: $C (1; t; - 1 + t)$

Điểm $C$ nằm trên mặt cầu nên ta có: $1^{2} + t^{2} + {(- 1 + t)}^{2} = 4$ hay $2 t^{2} - 2 t - 2 = 0$ .

Suy ra $t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ hoặc $t = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng $A B$ và mặt cầu là: $C (1; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})$ và $D (1; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2})$ .