Đề bài
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn −−→AM=12−−→AB,−−→AN=15−−→AC,−−→AP=13−−→AD. Đặt −−→AB=→a,−−→AD=→b. Biểu thị các vectơ −−→AN,−−−→MN,−−→NP theo các vectơ →a,→b và chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bước 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên các cạnh AB, AC, AD
Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo −−→AB và −−→AD
Bước 3: Sử dụng điều kiện −−−→MN=k−−→NP chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C, P nằm giữa A và D
a) Ta có:
+ −−→AN=15−−→AC. Theo quy tắc hình bình hành, −−→AB+−−→AD=−−→AC ⇒−−→AN=15(−−→AB+−−→AD)=15(→a+→b)
+ −−−→MN=−−→AN−−−→AMmà −−→AN=15(→a+→b), −−→AM=12−−→AB=12→a
nên −−−→MN=−−→AN−−−→AM=15(→a+→b)−12→a=−310→a+15→b
+ −−→NP=−−→AP−−−→AN mà −−→AN=15(→a+→b), −−→AP=13−−→AD=13→b
nên −−→NP=−−→AP−−−→AN=13→b−15(→a+→b)=−15→a+215→b
Vậy −−→AN=15(→a+→b); −−−→MN=−310→a+15→b; −−→NP=−15→a+215→b
b) Theo a, −−−→MN=−310→a+15→b; −−→NP=−15→a+215→b ⇒−−−→MN=−310→a+15→b=32(−15→a+215→b)=32−−→NP
⇒−−−→MN và −−→NP cùng phương. Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
