Giải bài 54 trang 100

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn −−→AM=12−−→AB,−−→AN=15−−→AC,−−→AP=13−−→ADAM→=12AB→,AN→=15AC→,AP→=13AD→\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} . Đặt −−

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}, \vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A C}, \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ . Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Biểu thị các vectơ $\vec{A N}, \vec{M N}, \vec{N P}$ theo các vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên các cạnh AB, AC, AD

Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo $\vec{A B}$ và $\vec{A D}$

Bước 3: Sử dụng điều kiện $\vec{M N} = k \vec{N P}$ chứng minh M, N, P thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C, P nằm giữa A và D

a) Ta có:

+ $\vec{A N} = \frac{1}{5} \vec{A C}$ . Theo quy tắc hình bình hành, $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ $\Rightarrow \vec{A N} = \frac{1}{5} (\vec{A B} + \vec{A D}) = \frac{1}{5} (\vec{a} + \vec{b})$

+ $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M}$ mà $\vec{A N} = \frac{1}{5} (\vec{a} + \vec{b})$ , $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{a}$

nên $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{1}{5} (\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2} \vec{a} = - \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$

+ $\vec{N P} = \vec{A P} - \vec{A N}$ mà $\vec{A N} = \frac{1}{5} (\vec{a} + \vec{b})$ , $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{b}$

nên $\vec{N P} = \vec{A P} - \vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{5} (\vec{a} + \vec{b}) = - \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b}$

Vậy $\vec{A N} = \frac{1}{5} (\vec{a} + \vec{b})$ ; $\vec{M N} = - \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$ ; $\vec{N P} = - \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b}$

b) Theo a, $\vec{M N} = - \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$ ; $\vec{N P} = - \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b}$ $\Rightarrow \vec{M N} = - \frac{3}{10} \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b} = \frac{3}{2} (- \frac{1}{5} \vec{a} + \frac{2}{15} \vec{b}) = \frac{3}{2} \vec{N P}$

$\Rightarrow \vec{M N}$ và $\vec{N P}$ cùng phương. Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.