Giải bài 54 trang 124

Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho ˆBAD=ˆCAMBAD^=CAM^\widehat {BAD} = \widehat {CAM}. a) Chứng minh ˆADB=ˆCDMADB^=CDM^\widehat {ADB} = \widehat {CDM}. b) Gọi E là giao điể

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho $\hat{B A D} = \hat{C A M}$ .

a) Chứng minh $\hat{A D B} = \hat{C D M}$ .

b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết $B C = R \sqrt{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Chứng minh $\hat{B A M} = \hat{D A C}$ .

Bước 2: Chứng minh $\frac{A B}{A D} = \frac{C M}{C D}$ ( $Δ A B M ∽ Δ A D C$ ).

Bước 3: Chứng minh $\hat{A D B} = \hat{C D M}$ ( $Δ A B D ∽ Δ C M D$ ).

b) Bước 1: Chứng minh $Δ O B M = Δ O C M$ để tính CM và suy ra $\hat{O M B} = \hat{O M C}$ .

Bước 2: Tính OM, chứng minh tam giác OCM vuông cân tại M.

Bước 3: Áp dụng công thức $S = \frac{π R^{2} n}{360}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\hat{B A D} + \hat{D A M} = \hat{B A M}, \hat{D A M} + \hat{C A M} = \hat{D A C}$ , mà $\hat{B A D} = \hat{C A M}$ suy ra $\hat{B A M} = \hat{D A C}$ .

Ta lại có $\hat{A B M} = \hat{A D C}$ (2 góc nội tiếp chắn cung AC của (O))

Xét tam giác ABM và tam giác ADC có:

$\hat{A B M} = \hat{A D C}$ , $\hat{B A M} = \hat{D A C}$

Suy ra $Δ A B M ∽ Δ A D C$ (g.g), do đó $\frac{A B}{A D} = \frac{B M}{C D} = \frac{C M}{C D}$ .

Xét tam giác ABD và tam giác CMD có:

$\hat{B A D} = \hat{M C D}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O))

$\frac{A B}{A D} = \frac{C M}{C D}$

Suy ra $Δ A B D ∽ Δ C M D$ (c.g.c), do đó $\hat{A D B} = \hat{C D M}$ .

b) Xét tam giác OBM và tam giác OCM có:

OM chung

$O B = O C$ (bằng bán kính (O))

$M B = M C$ (M là trung điểm của BC)

Suy ra $Δ O B M = Δ O C M$ (c.c.c), do đó $C M = \frac{B C}{2} = \frac{R \sqrt{2}}{2}$ và $\hat{O M B} = \hat{O M C}$

Mà $\hat{O M B} + \hat{O M C} = 180^{\circ}$ , suy ra $\hat{O M B} = \hat{O M C} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OCM có:

$O M = \sqrt{O C^{2} - C M^{2}} = \sqrt{R^{2} - {(\frac{R \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{R \sqrt{2}}{2}$

Ta thấy $O M = C M (= \frac{R \sqrt{2}}{2})$ nên tam giác OCM vuông cân tại M, suy ra $\hat{C O E} = 45^{\circ}$ .

Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE là:

$S = \frac{π R^{2} .45}{360} = \frac{π R^{2}}{8}$ (đvdt).