Giải bài 54 trang 67

Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục toạ độ (Oxyz) (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp thì tâm bão có toạ độ (left( {300;200;1} right)) (Hình 6). a) Lập phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật từ cấp

Đề bài

Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục toạ độ $O x y z$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp thì tâm bão có toạ độ $(300; 200; 1)$ (Hình 6).

a) Lập phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật từ cấp 12 trở lên khoảng 100 km tính từ tâm bão.

b) Tại một vị trí có toạ độ $(350; 245; 1)$ thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão được mô tả ở câu a hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Phương trình của mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ bán kính $R$ là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

‒ Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ , bán kính $R$ và một điểm $A$ .

+ Nếu $I A < R$ : $A$ nằm trong mặt cầu.

+ Nếu $I A = R$ : $A$ nằm trên mặt cầu.

+ Nếu $I A > R$ : $A$ nằm ngoài mặt cầu.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $I (300; 200; 1)$ bán kính 100 là:

${(x - 300)}^{2} + {(y - 200)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 100^{2}$ hay ${(x - 300)}^{2} + {(y - 200)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 10000$ .

b) Khoảng cách từ vị trí có toạ độ $(350; 245; 1)$ đến tâm bão là:

$d = \sqrt{{(350 - 300)}^{2} + {(245 - 200)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 5 \sqrt{181} < 100$

Vậy tại vị trí có toạ độ $(350; 245; 1)$ bị ảnh hưởng bởi cơn bão.