Giải bài 54 trang 89

Đề bài

Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(−6 ; 2) bán kính 7

b) (C) có tâm I(3 ; – 7) và đi qua điểm A(4 ; 1)

c) (C) có tâm I(1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 19 = 0

d) (C) có đường kính AB với A(−2 ; 3) và B(0 ; 1)

e) (C) có tâm I thuộc đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - t \end{cases}$ và (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆₂: 3x + 4y – 1 = 0, ∆₃: 3x - 4y + 2 = 0

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Từ câu a câu d xác định bán kính của (C) rồi viết PT đường tròn dạng chính tắc

+) Xét câu e

Bước 1: Tham số hóa tọa độ tâm I

Bước 2: Lập PT từ giả thiết: $d (I, Δ_{2}) = d (I, Δ_{3})$

Bước 3: Giải PT tìm được ở bước 2 để tìm tọa độ tâm I và bán kính đường tròn rồi viết PT đường tròn dạng chính tắc

Lời giải chi tiết

a) (C) có tâm I(−6 ; 2) bán kính 7 nên có PT: $(x + 6)^{2} + (y - 2)^{2} = 49$

b) (C) có tâm I(3 ; – 7) và đi qua điểm A(4 ; 1) $\Rightarrow$ Bán kính của (C) là $I A = \sqrt{{(4 - 3)}^{2} + {(1 + 7)}^{2}} = \sqrt{65}$

$\Rightarrow$ (C) có PT: $(x - 3)^{2} + (y + 7)^{2} = 65$

c) (C) có tâm I(1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 19 = 0

$\Rightarrow$ Bán kính của (C) là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆: 3x + 4y + 19 = 0

Ta có: $d (I, Δ) = \frac{| 3.1 + 4.2 + 19 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{30}{5} = 6$

$\Rightarrow$ (C) có PT: $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 36$

d) (C) có đường kính AB với A(−2 ; 3) và B(0 ; 1)

$\Rightarrow$ (C) có tâm I là trung điểm của AB $\Rightarrow I (- 1; 2)$

$\Rightarrow$ (C) có PT: $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 2$

Do $I \in Δ_{1}$ nên $I (1 + t; 1 - t)$

Theo giả thiết, $R = d (I, Δ_{2}) = d (I, Δ_{3}) \Leftrightarrow \frac{| 3 (1 + t) + 4 (1 - t) - 1 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{| 3 (1 + t) - 4 (1 - t) + 2 |}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow | 6 - t | = | 7 t + 1 | \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 6 - t = 7 t + 1 \\ 6 - t = - 7 t - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{5}{8} \\ t = \frac{- 7}{6} \end{array}$

Với $t = \frac{5}{8} \Rightarrow I (\frac{13}{8}; \frac{3}{8})$ $\Rightarrow$ $R = \frac{43}{40}$ . Khi đó (C) có PT: ${(x - \frac{13}{8})}^{2} + {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{1849}{1600}$

Với $t = - \frac{7}{6} \Rightarrow I (- \frac{1}{6}; \frac{13}{6})$ $\Rightarrow$ $R = \frac{43}{30}$ . Khi đó (C) có PT: ${(x + \frac{1}{6})}^{2} + {(y - \frac{13}{6})}^{2} = \frac{1849}{900}$