Đề bài
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn −−→AD=13−−→AB,−−→AE=25−−→AC,−−→BM=13−−→BC,−−→AN=k−−→AM
với k là số thực. Biểu thị các vectơ −−→AN,−−→DE,−−→EN theo các vectơ →a=−−→AB,→b=−−→AC và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.
Bước 1: Xác định vị trí các điểm D, E, M, N trên các cạnh AB, AC, BC, AM
Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo −−→AB và −−→AC
Bước 3: Sử dụng điều kiện −−→EN=t−−→DE chứng minh D, E, N thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết D, E, M, N nằm giữa 2 đầu mút các cạnh tương ứng AB, AC, BC, AM
a) Ta có: −−→AD=13−−→AB=13→a; −−→AE=25−−→AC=25→b;
−−→BM=13−−→BC⇔−−→AM−−−→AB=13(−−→AC−−−→AB)⇔−−→AM=−−→AB+13(−−→AC−−−→AB)⇔−−→AM=23→a+13→b
+ −−→AN=k−−→AM=k(23→a+13→b)=2k3→a+k3→b
+ −−→DE=−−→AE−−−→AD=−13→a+25→b
+ −−→EN=−−→AN−−−→AE=k(23→a+13→b)−25→b=2k3→a+5k−615→b
b) D, E, N thẳng hàng khi và chỉ khi −−→EN=t−−→DE ⇔2k3→a+5k−615→b=t(−13→a+25→b)
⇔{2k3=−t35k−615=2t5⇔{23k+13t=013k−25t=25⇔{k=617t=−1217
Vậy với k=617 thì D, E, N thẳng hàng.
