Giải bài 55 trang 100

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn −−→AD=13−−→AB,−−→AE=25−−→AC,−−→BM=13−−→BC,−−→AN=k−−→AMAD→=13AB→,AE→=25AC→,BM→=13BC→,AN→=kAM→\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrighta

Đề bài

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A C}, \vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A N} = k \vec{A M}$

với k là số thực. Biểu thị các vectơ $\vec{A N}, \vec{D E}, \vec{E N}$ theo các vectơ $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{A C}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định vị trí các điểm D, E, M, N trên các cạnh AB, AC, BC, AM

Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

Bước 3: Sử dụng điều kiện $\vec{E N} = t \vec{D E}$ chứng minh D, E, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết D, E, M, N nằm giữa 2 đầu mút các cạnh tương ứng AB, AC, BC, AM

a) Ta có: $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ; $\vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A C} = \frac{2}{5} \vec{b}$ ;

$\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C} \Leftrightarrow \vec{A M} - \vec{A B} = \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) \Leftrightarrow \vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) \Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

+ $\vec{A N} = k \vec{A M} = k (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}) = \frac{2 k}{3} \vec{a} + \frac{k}{3} \vec{b}$

+ $\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

+ $\vec{E N} = \vec{A N} - \vec{A E} = k (\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}) - \frac{2}{5} \vec{b} = \frac{2 k}{3} \vec{a} + \frac{5 k - 6}{15} \vec{b}$

b) D, E, N thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{E N} = t \vec{D E}$ $\Leftrightarrow \frac{2 k}{3} \vec{a} + \frac{5 k - 6}{15} \vec{b} = t (- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b})$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{2 k}{3} = - \frac{t}{3} \\ \frac{5 k - 6}{15} = \frac{2 t}{5} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{2}{3} k + \frac{1}{3} t = 0 \\ \frac{1}{3} k - \frac{2}{5} t = \frac{2}{5} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} k = \frac{6}{17} \\ t = - \frac{12}{17} \end{cases}$

Vậy với $k = \frac{6}{17}$ thì D, E, N thẳng hàng.