Giải bài 55 trang 124

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC. a) Chứng minh ˆBAC=ˆCOD=ˆABC=ˆACOBAC^=COD^=ABC^=ACO^\widehat {BAC} = \widehat {COD} = \widehat {ABC} = \widehat {ACO}. b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh AM>CMAM>CMAM > CMvà ˆCOM=2ˆCAMCOM^=2CAM^\wideha

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC.

a) Chứng minh $\hat{B A C} = \hat{C O D} = \hat{A B C} = \hat{A C O}$ .

b) Lấy điểm M thuộc cung CD. Chứng minh $A M > C M$ và $\hat{C O M} = 2 \hat{C A M}$ .

c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC, tìm vị trí của điểm M để diện tích của tam giác MAC lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Tính số đo các cung CB, CA, CD, AD và từ đó tính được số đo các góc ABC, CAB, COD.

Bước 2: Tính góc ACO (tổng 3 góc trong tam giác ACO).

b) Bước 1: So sánh số đo cung AM và CM, từ đó suy ra $\hat{A C M} > \hat{C A M}$ .

Bước 2: Dựa vào mỗi quan hệ giữ góc và cạnh đối diện trong tam giác ACM để so sánh AM, CM.

c) Biểu diễn diện tích tam giác MAC: $S = \frac{1}{2} A C . M N$

Ta dự đoán diện tích tam giác MAC khi M là điểm chính giữa của cung AC nên ta chứng minh $M N \leq D K$ .

Lời giải chi tiết

Gọi K là giao điểm của AC và OD, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

a) Vì C điểm chính giữa của cung AB nên $sđ \overset{⌢}{C B} = sđ \overset{⌢}{C A} = \frac{1}{2} sđ \overset{⌢}{A B} = \frac{1}{2} .180^{\circ} = 90^{\circ}$ (do AB là cung chắn nửa đường tròn nên có số đo là 180⁰),

Suy ra $\hat{B A C} = \hat{A B C} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ (do $\hat{B A C}$ và $\hat{A B C}$ là các góc nội chắn các cung bằng nhau) (1) và $\hat{C O A} = 90^{\circ}$ (góc ở tâm chắn cung AC).

Do D là điểm chính giữa của cung AC nên $sđ \overset{⌢}{A D} = sđ \overset{⌢}{D C} = \frac{1}{2} sđ \overset{⌢}{A C} = \frac{1}{2} .90^{\circ} = 45^{\circ}$

Suy ra $\hat{C O D} = 45^{\circ}$ (do $\hat{C O D}$ là góc ở tâm chắc cung DC)(2)

Xét tam giác ABC có: $\hat{A C O} = 180^{\circ} - \hat{C A O} - \hat{C O A} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\hat{B A C} = \hat{C O D} = \hat{A B C} = \hat{A C O} (= 45^{\circ})$ .

b) Do M thuộc cung nhỏ DC và $sđ \overset{⌢}{A D} = sđ \overset{⌢}{D C} = 45^{\circ}$ , mà $sđ \overset{⌢}{A M} = sđ \overset{⌢}{A D} +sđ \overset{⌢}{D M} = 45^{\circ} +sđ \overset{⌢}{D M}$

Nên $sđ \overset{⌢}{A M} > 45^{\circ}$ và $sđ \overset{⌢}{C M} < 45^{\circ}$ , do đó $sđ \overset{⌢}{A M} > sđ \overset{⌢}{C M}$ hay $\hat{A C M} > \hat{C A M}$

Xét tam giác ACM có $\hat{A C M} > \hat{C A M}$ nên $A M > C M$ .

Xét (O) có: $\hat{C A M}$ là góc nội tiếp chắn cung CM nên $\hat{C A M} = \frac{1}{2} sđ \overset{⌢}{C M}$ ; $\hat{C O M}$ là góc ở tâm chắn cung CM nên $\hat{C O M} =sđ \overset{⌢}{C M}$ . Do đó $\hat{C O M} = 2 \hat{C A M}$ .

c) Diện tích tam giác MAC là $S = \frac{1}{2} A C . M N$ .

Mà AC cố định nên S lớn nhất khi MN lớn nhất.

Do $sđ \overset{⌢}{A D} = sđ \overset{⌢}{D C}$ nên $\hat{C O D} = \hat{A O D}$ ( do đây là 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau của (O)) nên OD (hay OK) là tia phân giác của góc COA.

Mặt khác $A O = C O$ (cũng bằng bán kính (O)) nên tam giác ACO cân tại O, do đó đường phân giác OK đồng thời là đường cao, hay $O K ⊥ A C$ .

Ta lại có $M N + O K \leq O M$ và $O M = O D = D K + O K$ nên $M N \leq D K$ .

Do DK không đổi nên MN lớn nhất khi $M N = D K$ hay M là điểm chính giữa cung AC.

Vậy diện tích $Δ M A C$ lớn nhất bằng $\frac{1}{2} A C . D K$ khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.