Đề bài
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và
lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thoả mãn AA′AB=BB′BC=CC′CA. Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.
Bước 1: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. Biến đổi biểu thức −−→AA′+−−→BB′+−−→CC′ sao cho xuất hiện vectơ −−→GG′ (sử dụng các quy tắc vectơ)
Bước 2: Sử dụng giả thiết AA′AB=BB′BC=CC′CAbiểu diễn các vectơ −−→AA′,−−→BB′,−−→CC′ theo −−→AB,−−→BC,−−→CA
Bước 3: Chứng minh −−→GG′=→0 rồi kết luận
Lời giải chi tiết
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.
Khi đó ⎧⎨⎩−−→GA+−−→GB+−−→GC=→0−−→GA′+−−→GB′+−−→GC′=→0
Xét −−→AA′+−−→BB′+−−→CC′=−−→AG+−−→GG′+−−−→G′A′+−−→BG+−−→GG′+−−−→G′B′+−−→CG+−−→GG′+−−−→G′C′
=(−−→AG+−−→BG+−−→CG)+(−−→GA′+−−→GB′+−−→GC′)+3−−→GG′=3−−→GG′ (1)
Mặt khác, đặt AA′AB=BB′BC=CC′CA=k⇒⎧⎪⎨⎪⎩AA′=kABBB′=kBCCC′=kCA⇒⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩−−→AA′=k−−→AB−−→BB′=k−−→BC−−→CC′=k−−→CA (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3−−→GG′=k−−→AB+k−−→BC+k−−→CA=k(−−→AB+−−→BC+−−→CA)=→0 ⇒−−→GG′=→0
Do đó G và G’ trùng nhau. Vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.
