Giải bài 56 trang 100

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và

Đề bài

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và

lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thoả mãn $\frac{A A^{'}}{A B} = \frac{B B^{'}}{B C} = \frac{C C^{'}}{C A}$ . Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. Biến đổi biểu thức $\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}}$ sao cho xuất hiện vectơ $\vec{G G^{'}}$ (sử dụng các quy tắc vectơ)

Bước 2: Sử dụng giả thiết $\frac{A A^{'}}{A B} = \frac{B B^{'}}{B C} = \frac{C C^{'}}{C A}$ biểu diễn các vectơ $\vec{A A^{'}}, \vec{B B^{'}}, \vec{C C^{'}}$ theo $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C A}$

Bước 3: Chứng minh $\vec{G G^{'}} = \vec{0}$ rồi kết luận

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.

Khi đó ${\begin{cases} \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} \\ \vec{G A^{'}} + \vec{G B^{'}} + \vec{G C^{'}} = \vec{0} \end{cases}$

Xét $\vec{A A^{'}} + \vec{B B^{'}} + \vec{C C^{'}} = \vec{A G} + \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} A^{'}} + \vec{B G} + \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} B^{'}} + \vec{C G} + \vec{G G^{'}} + \vec{G^{'} C^{'}}$

$= (\vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G}) + (\vec{G A^{'}} + \vec{G B^{'}} + \vec{G C^{'}}) + 3 \vec{G G^{'}} = 3 \vec{G G^{'}}$ (1)

Mặt khác, đặt $\frac{A A^{'}}{A B} = \frac{B B^{'}}{B C} = \frac{C C^{'}}{C A} = k \Rightarrow {\begin{cases} A A^{'} = k A B \\ B B^{'} = k B C \\ C C^{'} = k C A \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \vec{A A^{'}} = k \vec{A B} \\ \vec{B B^{'}} = k \vec{B C} \\ \vec{C C^{'}} = k \vec{C A} \end{cases}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $3 \vec{G G^{'}} = k \vec{A B} + k \vec{B C} + k \vec{C A} = k (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A}) = \vec{0}$ $\Rightarrow \vec{G G^{'}} = \vec{0}$

Do đó G và G’ trùng nhau. Vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.