Giải bài 57 trang 124

Cho hình thang vuông ABCD (ˆA=ˆB=90∘A^=B^=90∘\widehat A = \widehat B = 90^\circ ) với ˆC=30∘C^=30∘\widehat C = 30^\circ , BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

Đề bài

Cho hình thang vuông ABCD ( $\hat{A} = \hat{B} = 90^{\circ}$ ) với $\hat{C} = 30^{\circ}$ , BC = CD = a. Vẽ một phần đường tròn (C; CD) (Hình 54). Tính diện tích của phần tô màu xám theo a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Diện tích của phần tô màu xám = diện tích hình thang ABCD – diện tích quạt tròn CBD.

Bước 1: Áp dụng tỉ số lượng giác để tính DH, CH; từ đó tính được BH.

Bước 2: Chứng minh ABHD là hình chữ nhật, từ đó tính được AB, AD.

Bước 3: Tính diện tích hình thang ABCD, diện tích quạt tròn CBD.

Lời giải chi tiết

Kẻ $D H ⊥ B C$ ( $H \in B C$ ) suy ra $\hat{C H D} = \hat{B H D} = 90^{\circ}$ .

Do tam giác CDH vuông tại H nên ta có $D H = C D . \sin C = a . \sin 30^{\circ} = a . \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

và $C H = C D . \cos C = a . \cos 30^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Ta có $B H = B C - C H = a - \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a (2 - \sqrt{3})}{2}$

Xét tứ giác ABHD có: $\hat{A} = \hat{B} = \hat{B H D} = 90^{\circ}$ nên ABHD là hình chữ nhật,

do đó $A B = D H = \frac{a}{2}$ , $A D = B H = \frac{a (2 - \sqrt{3})}{2}$

Diện tích hình thang ABCD là

$S_{1} = \frac{A B (A D + B C)}{2} = \frac{a}{2} . (\frac{a (2 - \sqrt{3})}{2} + a) : 2 = \frac{a^{2} (4 - \sqrt{3})}{8}$

Diện tích quạt tròn BCD là

$S_{2} = \frac{π R^{2} n}{360} = \frac{π . a^{2} .30}{360} = \frac{π a^{2}}{12}$

Diện tích phần tô xám là

$S = S_{1} - S_{2} = \frac{a^{2} (4 - \sqrt{3})}{8} - \frac{π a^{2}}{12} = \frac{a^{2} (12 - 3 \sqrt{3} - 2 π)}{24}$ .