Giải bài 58 trang 90

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(1 ; 1) và đường thẳng ∆: 3x + 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C), biết (C) có tâm M và đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm N, P thoả mãn tam giác MNP đều.

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(1 ; 1) và đường thẳng : 3x + 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C), biết (C) có tâm M và đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm N, P thoả mãn tam giác MNP đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm bán kính đường tròn (C)

Bước 1: Tính khoảng cách từ M đến ∆

Bước 2: Xét ∆MNP đều biết độ dài đường cao kẻ từ M, tính độ dài các cạnh của tam giác là bán kính của (C)

Bước 3: Viết PT đường tròn với tâm M và bán kính tìm được ở bước 2

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng ∆

Ta có: $M H = d (M, Δ) = \frac{| 3 + 4 + 3 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 2$

Theo giả thiết, ∆MNP đều $\Rightarrow \hat{M N H} = 60^{0}$

Xét $Δ M N H$ vuông tại H có $M N = \frac{M H}{\sin \hat{M N H}} = \frac{2}{\sin 60^{0}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow R = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Vậy (C) có PT: $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{16}{3}$