Giải bài 6.14 trang 10

Đặt (a = {rm{lo}}{{rm{g}}_3}5,b = {rm{lo}}{{rm{g}}_4}5). Hãy biểu diễn ({rm{lo}}{{rm{g}}_{15}}10) theo a và (b).

Đề bài

Đặt $a = l o g_{3} 5$ , $b = l o g_{4} 5$ . Hãy biểu diễn $l o g_{15} 10$ theo a và b.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phân tích $48$ theo thừa số nguyên tố rồi áp dụng quy tắc tính logarit, đổi cơ số của lôgarit $\log_{a} M = \frac{\log_{b} M}{\log_{b} a}$ , $\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}$

Giả sử a là số thực dương khác $1, M$ và $N$ là các số thực dương, $α$ là số thực tuỳ ý.

$\begin{array}{l} \log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N; \\ \log_{a} (\frac{M}{N}) = \log_{a} M - \log_{a} N; \\ \log_{a} M^{a} = α \log_{a} M . \end{array}$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$b = l o g_{4} 5 = l o g_{2^{2}} 5 = \frac{1}{2} l o g_{2} 5 \Rightarrow l o g_{2} 5 = 2 b$

$l o g_{15} 10 = \frac{l o g_{5} 10}{l o g_{5} 15} = \frac{l o g_{5} (2 \cdot 5)}{l o g_{5} (3 \cdot 5)} = \frac{l o g_{5} 2 + 1}{l o g_{5} 3 + 1}$

Mà $l o g_{5} 3 = \frac{1}{l o g_{3} 5} = \frac{1}{a}$ và $l o g_{5} 2 = \frac{1}{l o g_{2} 5} = \frac{1}{2 b}$

nên $l o g_{15} 10 = \frac{\frac{1}{2 b} + 1}{\frac{1}{a} + 1} = \frac{(1 + 2 b) a}{2 b (a + 1)}$