Giải bài 6.15 trang 24

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

Đề bài

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $3 x^{2} - 4 x + 1$ ;

b) $x^{2} + 2 x + 1$ ;

c) $- x^{2} + 3 x - 2$ ;

d) $- x^{2} + x - 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét dấu tam thức bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Bước 1: Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Bước 2:

- Nếu $Δ < 0$ thì $f (x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x \in R$ .

- Nếu $Δ = 0$ thì $f (x)$ có nghiệm kép là $x_{0}$ . Vậy $f (x)$ cùng dấu với a với $x \neq x_{0}$ .

- Nếu $Δ > 0$ thì $f (x)$ có 2 nghiệm là $x_{1}; x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ . Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết

a) $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ có $Δ = 4 > 0$ , $a = 3 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = 1$ , $x_{2} = \frac{1}{3}$ . Do đó ta có bảng xét dấu $f (x)$ :

Suy ra $f (x) > 0$ với mọi $x \in (- \infty; \frac{1}{3}) \cup (1; + \infty)$ và $f (x) < 0$ với mọi $x \in (\frac{1}{3}; 1)$ .

b) $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ có $Δ = 0$ và $a = 1 > 0$ nên $g (x)$ có nghiệm kép $x = - 1$ và $g (x) > 0$ với $x \neq - 1$ .

c) $h (x) = - x^{2} + 3 x - 2$ có $Δ = 1 > 0$ , $a = - 1$ .

Suy ra $h (x) > 0$ với mọi $x \in (1; 2)$ và $h (x) < 0$ với mọi $x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

d) $k (x) = - x^{2} + x - 1$ có $Δ = - 3$ , $a = - 1$ .

Suy ra $k (x) < 0$ với mọi $x \in R$ .