Giải bài 6.16 trang 24

Giải các bất phương trình bậc hai:

Đề bài

Giải các bất phương trình bậc hai:

a) $x^{2} - 1 \geq 0$ ;

b) $x^{2} - 2 x - 1 < 0$ ;

c) $- 3 x^{2} + 12 x + 1 \leq 0$ ;

d) $5 x^{2} + x + 1 \geq 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét dấu tam thức bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Bước 1: Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Bước 2:

- Nếu $Δ < 0$ thì $f (x)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x \in R$

- Nếu $Δ = 0$ thì $f (x)$ có nghiệm kép là $x_{0}$ . Vậy $f (x)$ cùng dấu với a với $x \neq x_{0}$ .

- Nếu $Δ > 0$ thì $f (x)$ có 2 nghiệm là $x_{1}; x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ . Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết

a) Tam thức $f (x) = x^{2} - 1$ có $Δ = 4 > 0$ nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = - 1; x_{2} = 1$ .

Mặt khác $a = 1 > 0$ , do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)$ .

b) Tam thức $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ có $Δ = 8 > 0$ nên $g (x)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = 1 - \sqrt{2}; x_{2} = 1 + \sqrt{2}$ .

Mặt khác $a = 1 > 0$ , do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ .

c) Tam thức $h (x) = - 3 x^{2} + 12 x + 1$ có $Δ^{'} = 39 > 0$ nên $h (x)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{6 - \sqrt{39}}{3}; x_{2} = \frac{6 + \sqrt{39}}{3}$ .

Mặt khác $a = - 3 < 0$ , do đó ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; \frac{6 - \sqrt{39}}{3}] \cup [\frac{6 + \sqrt{39}}{3}; + \infty)$ .

d) Tam thức $k (x) = 5 x^{2} + x + 1$ có $Δ = - 19 < 0$ , hệ số $a = 5 > 0$ nên $k (x)$ luôn dương ( cùng dấu với a) với mọi x, tức là $5 x^{2} + x + 1 > 0$ với mọi $x \in R$ . Suy ra bất phương trình có vô số nghiệm.