Giải bài 6.17 trang 13

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) (sqrt 3 {x^2} - left( {sqrt 3 + 1} right)x + 1 = 0); b) (3{x^2} + left( {sqrt 5 - 1} right)x - 4 + sqrt 5 = 0); c) (2{x^2} - 3sqrt 5 x + 5 = 0), biết rằng phương trình có một nghiệm là (x = sqrt 5 ).

Đề bài

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $\sqrt{3} x^{2} - (\sqrt{3} + 1) x + 1 = 0$ ;

b) $3 x^{2} + (\sqrt{5} - 1) x - 4 + \sqrt{5} = 0$ ;

c) $2 x^{2} - 3 \sqrt{5} x + 5 = 0$ , biết rằng phương trình có một nghiệm là $x = \sqrt{5}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ .

Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = 1$ , còn nghiệm kia là $x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = - 1$ , còn nghiệm kia là $x_{2} = - \frac{c}{a}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1) + 1 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Ta có: $3 - \sqrt{5} + 1 - 4 + \sqrt{5} = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = - 1; x_{2} = \frac{- (- 4 + \sqrt{5})}{3} = \frac{4 - \sqrt{5}}{3}$ .

c) Gọi $x_{2}$ là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: $\sqrt{5} . x_{2} = \frac{5}{2}$ ,

suy ra, $x_{2} = \frac{5}{2} : \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \sqrt{5}; x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .