Giải bài 6.17 trang 24

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in R$ : $x^{2} + (m + 1) x + 2 m + 3$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c > 0$ với mọi $x \in R$ thì: $a > 0$ và $Δ < 0$ .

Lời giải chi tiết

Để tam thức bậc hai $x^{2} + (m + 1) x + 2 m + 3 > 0$ với mọi $x \in R$ :

Ta có: $a = 1 > 0$ nên $Δ < 0$ .

$\Leftrightarrow (m + 1)^{2} - 4. (2 m + 3) < 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2 m + 1 - 8 m - 12 < 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 6 m - 11 < 0$ .

Tam thức $f (m) = m^{2} - 6 m - 11$ có $Δ^{'} = 20 > 0$ nên $f (x)$ có 2 nghiệm phân biệt:

$m_{1} = 3 + \sqrt{20}$ ; $m_{2} = 3 - \sqrt{20}$ .

Khi đó $3 - 2 \sqrt{5} < m < 3 + 2 \sqrt{5}$ .

Vậy $3 - 2 \sqrt{5} < m < 3 + 2 \sqrt{5}$ .