Giải bài 6.18 trang 13

Tìm hai số u và v, biết: a) (u + v = 17,uv = 72); b) ({u^2} + {v^2} = 73,uv = 24).

Đề bài

Tìm hai số u và v, biết:

a) $u + v = 17, u v = 72$ ;

b) $u^{2} + v^{2} = 73, u v = 24$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4 P \geq 0$ ), với S là tổng của hai số, P là tích của hai số.

+ Tính nghiệm của phương trình dựa vào công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn).

Lời giải chi tiết

a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 17 x + 72 = 0$

Ta có: $Δ = {(- 17)}^{2} - 4.1.72 = 1 > 0, \sqrt{Δ} = 1$

Suy ra phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{17 + 1}{2} = 9; x_{2} = \frac{17 - 1}{2} = 8$ .

Vậy $(u; v) = (8; 9)$ hoặc $(u; v) = (8; 9)$ .

b) Ta có: $u^{2} + v^{2} = 73$ nên $u^{2} + 2 u v + v^{2} - 2 u v = 73$ , suy ra ${(u + v)}^{2} - 2.24 = 73$ , suy ra ${(u + v)}^{2} = 121$ . Do đó, $u + v = 11$ hoặc $u + v = - 11$ .

TH1: $u + v = 11$ , $u v = 24$

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 11 x + 24 = 0$ .

Ta có: $Δ = {(- 11)}^{2} - 4.1.24 = 25$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = 8; x_{2} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = 3$

TH2: $u + v = - 11$ , $u v = 24$

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^{2} + 11 x + 24 = 0$ .

Vì $Δ = 11^{2} - 4.1.24 = 25$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{- 11 + \sqrt{25}}{2} = - 3; x_{2} = \frac{- 11 - \sqrt{25}}{2} = - 8$

Vậy $(u; v) \in {(8; 3); (3; 8); (- 8; - 3); (- 3; - 8)}$ .