Giải bài 6.18 trang 13

Đề bài

Tìm hai số u và v, biết:

a) $u+v=17,uv=72$;

b) $u^2+v^2=73,uv=24$.

Lời giải chi tiết

a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^2-17x+72=0$

Ta có: $\Delta ={\left(-17\right)}^2-\mathrm{4.1.72}=1>0,\sqrt{\Delta }=1$

Suy ra phương trình có hai nghiệm: $x_1=\frac{17+1}{2}=9;x_2=\frac{17-1}{2}=8$.

Vậy $\left(u;v\right)=\left(8;9\right)$ hoặc $\left(u;v\right)=\left(8;9\right)$.

b) Ta có: $u^2+v^2=73$ nên $u^2+2uv+v^2-2uv=73$, suy ra ${\left(u+v\right)}^2-2.24=73$, suy ra ${\left(u+v\right)}^2=121$. Do đó, $u+v=11$ hoặc $u+v=-11$.

TH1: $u+v=11$, $uv=24$

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^2-11x+24=0$.

Ta có: $\Delta ={\left(-11\right)}^2-\mathrm{4.1.24}=25$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1=\frac{11+\sqrt{25}}{2}=8;x_2=\frac{11-\sqrt{25}}{2}=3$

TH2: $u+v=-11$, $uv=24$

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^2+11x+24=0$.

Vì $\Delta ={11}^2-\mathrm{4.1.24}=25$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1=\frac{-11+\sqrt{25}}{2}=-3;x_2=\frac{-11-\sqrt{25}}{2}=-8$

Vậy $\left(u;v\right)\in \left\{\left(8;3\right);\left(3;8\right);\left(-8;-3\right);\left(-3;-8\right)\right\}$.