Giải bài 6.18 trang 24

Đề bài

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_{0} = 20$ m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm hàm tính độ cao so với mặt đất của vật $h (t)$ .

Tìm khoảng thời gian t để $320 - h (t) \leq 100$ , bài toán đưa về xét dấu tam thức $f (t) = a t^{2} + b t + c$ .

Bước 1: Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Bước 2:

- Nếu $Δ < 0$ thì $f (t)$ luôn cùng dấu với a với mọi $t \in R$ .

- Nếu $Δ = 0$ thì $f (t)$ có nghiệm kép là $t_{0}$ . Vậy $f (t)$ cùng dấu với a với $t \neq t_{0}$ .

- Nếu $Δ > 0$ thì $f (t)$ có 2 nghiệm là $t_{1}; t_{2}$ $(t_{1} < t_{2})$ . Ta lập bảng xét dấu.

Kết luận khoảng chứa t thỏa mãn.

Lời giải chi tiết

Quãng đường vật rơi được sau t (s) là:

$h (t) = 20 t + \frac{1}{2} .9, 8. t^{2} = 4, 9. t^{2} + 20 t$ .

Để vật cách mặt đất không quá 100 m thì:

$320 - h (t) \leq 100 \Leftrightarrow h (t) \geq 220 \Leftrightarrow 4, 9 t^{2} + 20 t - 220 \geq 0$ .

Tam thức $f (t) = 4, 9 t^{2} + 20 t - 220$ có $Δ^{'} = 1178 > 0$ nên f(t) có 2 nghiệm phân biệt:

$t_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{1} 178}{4, 9}$ ; $t_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{1} 178}{4, 9}$ (t > 0).

Mặt khác a = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu:

Do t > 0 nên $t \geq \frac{- 10 + \sqrt{1} 178}{4, 9} \approx 5$ .

Vậy sau ít nhất khoảng 5 s thì vật đó cách mặt đất không quá 100 m.