Giải bài 6.20 trang 13

Cho phương trình bậc hai (ẩn x): ({x^2} - 4x + m - 2 = 0). a) Tìm điều kiện của ẩn m để phương trình có nghiệm. b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi ({x_1}) và ({x_2}) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m: (A = x_1^2 + x_2^2;B = x_1^3 + x_2^3).

Đề bài

Cho phương trình bậc hai (ẩn x): $x^{2} - 4 x + m - 2 = 0$ .

a) Tìm điều kiện của ẩn m để phương trình có nghiệm.

b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m: $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}; B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có nghiệm khi $Δ^{'} \geq 0$ .

b) + Viết định lí Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$ .

+ Biến đổi $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ , từ đó tính được giá trị biểu thức.

+ Biến đổi $B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$ , từ đó tính được giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $Δ^{'} = {(- 2)}^{2} - 1. (m - 2) = 6 - m$ .

Phương trình đã cho có nghiệm khi $Δ^{'} \geq 0$ , tức là $6 - m \geq 0$ , suy ra $m \leq 6$ .

b) Theo định lí Viète ta có $x_{1} + x_{2} = 4; x_{1} . x_{2} = m - 2$ .

Ta có:

$A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} .$

Thay $x_{1} + x_{2} = 4; x_{1} . x_{2} = m - 2$ vào A ta có:

$A = 4^{2} - 2 (m - 2) = 20 - 2 m$ .

$B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$

Thay $x_{1} + x_{2} = 4; x_{1} . x_{2} = m - 2$ vào B ta có:

$B = 4^{3} - 3. (m - 2) .4 = 88 - 12 m$ .