Giải bài 6.21 trang 13

Giả sử phương trình bậc hai (a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)) có hai nghiệm là ({x_1}), ({x_2}) đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là (frac{1}{{{x_1}}}) và (frac{1}{{{x_2}}}).

Đề bài

Giả sử phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có hai nghiệm là $x_{1}$ , $x_{2}$ đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Viết định lí Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$ .

+ Tính $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}; \frac{1}{x_{1}} . \frac{1}{x_{2}}$

+ $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ là nghiệm của phương trình:

$y^{2} - (\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) y + (\frac{1}{x_{1}} . \frac{1}{x_{2}}) = 0$ với $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}; \frac{1}{x_{1}} . \frac{1}{x_{2}}$ đã tính được ở trên.

Lời giải chi tiết

Theo định lí Viète ta có $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Ta có:

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} . x_{2}} = \frac{\frac{- b}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{- b}{c}; \frac{1}{x_{1}} . \frac{1}{x_{2}} = \frac{1}{x_{1} . x_{2}} = \frac{1}{\frac{c}{a}} = \frac{a}{c} .$

Do đó, $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $y^{2} + \frac{b}{c} y + \frac{a}{c} = 0$ hay $c y^{2} + b y + a = 0$ .