Giải bài 6.22 trang 14

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai (a{x^2} + bx + c = 0) có hai nghiệm là ({x_1}), ({x_2}) thì đa thức (a{x^2} + bx + c) được phân tích được thành nhân tử như sau: (a{x^2} + bx + c = aleft( {x - {x_1}} right)left( {x - {x_2}} right)). Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (2{x^2} - 9

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}$ , $x_{2}$ thì đa thức $a x^{2} + b x + c$ được phân tích được thành nhân tử như sau: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: $2 x^{2} - 9 x + 7$ ; $4 x^{2} + (\sqrt{2} - 3) x - 7 + \sqrt{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh:

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$

+ Biến đổi $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$

+ Thay $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ vào đa thức $a x^{2} - a x (x_{1} + x_{2}) + a x_{1} x_{2}$ ta được điều phải chứng minh.

Áp dụng: + Tìm nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$

+ Phân tích đa thức dưới dạng:

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Lời giải chi tiết

Với $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ , theo định lí Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$ . Do đó:

$a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} = a x^{2} - a . \frac{- b}{a} . x + a . \frac{c}{a} = a x^{2} + b x + c .$

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Vì $2 - 9 + 7 = 0$ nên phương trình $2 x^{2} - 9 x + 7 = 0$ có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{7}{2}$

nên $2 x^{2} - 9 x + 7 = 2 (x - 1) (x - \frac{7}{2})$

b) Vì $4 - (\sqrt{2} - 3) - 7 + \sqrt{2} = 0$ nên phương trình $4 x^{2} + (\sqrt{2} - 3) x - 7 + \sqrt{2} = 0$ có hai nghiệm $x_{1} = - 1; x_{2} = \frac{7 - \sqrt{2}}{4}$

nên $4 x^{2} + (\sqrt{2} - 3) x - 7 + \sqrt{2}$ $= 4 (x + 1) (x + \frac{\sqrt{2} - 7}{4}) .$