Giải bài 6.22 trang 18

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) $3 x^{2} - 36 x + 108 > 0$

b) $- x^{2} + 2 x - 2 \geq 0$

c) $x^{4} - 3 x^{2} + 2 \leq 0$

d) $\frac{1}{x^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x^{2} + x + 2}$

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 108$ có a = 3 > 0, ∆’ = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 6 và f(x) = $3 x^{2} - 36 x + 108$ > 0 với mọi $x \neq 6$

Vậy tập nghiệm của BPT $3 x^{2} - 36 x + 108 > 0$ là $R ∖ {6}$

b) Tam thức bậc hai $g (x) = - x^{2} + 2 x - 2 \geq 0$ có a = -1 < 0, ∆’ = -1 < 0 nên g(x) < 0 với mọi $x \in R$

Vậy BPT $- x^{2} + 2 x - 2 \geq 0$ vô nghiệm

c) Đặt t = x² (t ≥ 0) khi đó ta thu được BPT $t^{2} - 3 t + 2 \leq 0$

Tam thức bậc hai $h (x) = t^{2} - 3 t + 2$ có a = 1 > 0 và có hai nghiệm là $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ nên ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta được nghiệm của BPT $t^{2} - 3 t + 2 \leq 0$ là 1 ≤ t ≤ 2

Suy ra 1 ≤ x² ≤ 2 $\Leftrightarrow {\begin{cases} x^{2} \geq 1 \\ x^{2} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 1 \end{array} \\ - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \sqrt{2} \leq x \leq - 1 \\ 1 \leq x \leq \sqrt{2} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT $x^{4} - 3 x^{2} + 2 \leq 0$ là $[- \sqrt{2}; - 1] \cup [1; \sqrt{2}]$

d) $\frac{1}{x^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x^{2} + x + 2}$ (*)

Ta có: Tam thức bậc hai $x^{2} - x + 1$ và $2 x^{2} + x + 2$ đều có a > 0, ∆ > 0 nên $x^{2} - x + 1$ > 0; $2 x^{2} + x + 2$ > 0 với mọi $x \in R$

Khi đó (*) $\Leftrightarrow x^{2} - x + 1 \geq 2 x^{2} + x + 2$ $\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$

Tam thức bậc hai $k (x) = x^{2} + 2 x + 1$ có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -1

Suy ra k(x) > 0 với mọi x ≠ -1 và k(x) = 0 với x = -1

Vậy tập nghiệm của BPT $\frac{1}{x^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x^{2} + x + 2}$ là {-1}