Giải bài 6.22 trang 27

(H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x=AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD

Đề bài

Cho từ giác ABCD có $A B ⊥ C D$ ; AB = 2; BC = 13; CD = 8; DA = 5 (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x = AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính HD, HC theo x.

Bước 2: Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BHC.

$B C^{2} = H B^{2} + H C^{2}$ .

Khi đó ta lập được phương trình $4 \sqrt{25 - x^{2}} = - x + 19$ .

Bước 3: Giải phương trình trên ta tìm được x.

Lời giải chi tiết

Ta có: AH = x (x > 0).

Xét tam giác AHD vuông ở H, ta có:

$A D^{2} = A H^{2} + H D^{2}$

$\Leftrightarrow H D^{2} = A D^{2} - A H^{2} = 25 - x^{2}$

$\Rightarrow H D = \sqrt{25 - x^{2}}$ .

Ta có: $H C = H D + D C = \sqrt{25 - x^{2}} + 8$ ,

$H B = A H + A B = x + 2$ .

Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:

$B C^{2} = H B^{2} + H C^{2}$

$\Leftrightarrow 13^{2} = (x + 2)^{2} + {(\sqrt{25 - x^{2}} + 8)}^{2}$

$\Leftrightarrow 169 = x^{2} + 4 x + 4 + 25 - x^{2} + 16 \sqrt{25 - x^{2}} + 64$

$\Leftrightarrow 16 \sqrt{25 - x^{2}} = - 4 x + 76$

$\Leftrightarrow 4 \sqrt{25 - x^{2}} = - x + 19$ .

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

$16 (25 - x^{2}) = x^{2} - 38 x + 361$

$\Leftrightarrow 17 x^{2} - 38 x - 39 = 0$

$\Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = \frac{- 13}{17}$ .

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình, ta thấy hai giá trị đều thỏa mãn.

Do x > 0 nên ta chọn x = 3. Vậy AH = 3.

$H D = \sqrt{25 - 3^{2}} = 4$ , $H C = 4 + 8 = 12$ , $H B = 3 + 2 = 5$ .

Diện tích tam giác HAD là $S_{1} = \frac{1}{2} . H A . H D = \frac{1}{2} .3 .4 = 6$ .

Diện tích tam giác HBC là $S_{2} = \frac{1}{2} . H B . H C = \frac{1}{2} .5 .12 = 30$ .

Vậy diện tích tứ giác ABCD là $S = S_{2} - S_{1} = 30 - 6 = 24$ .