Giải bài 6.23 trang 10

Đề bài

Cho biểu thức $P = \frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3} + \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{6}{x - 3} (x \neq 3, x \neq 1, x \neq - 1)$

a) Rút gọn phân thức $\frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}$ .

b) Chứng tỏ rằng có thể viết $P = a + \frac{b}{x - 3}$ trong đó a, b là những hằng số.

c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức rút gọn phân thức để chứng minh:

+ Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đó thành một biểu thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn

+ Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

b) Sử dụng kiến thức trừ hai phân thức cùng mẫu để tính: Trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$

c) Một phân số là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số (hay mẫu số là ước của tử số).

Lời giải chi tiết

a) $\frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3} = \frac{2 x - 6}{x^{2} (x - 3) - (x - 3)} = \frac{2 (x - 3)}{(x^{2} - 1) (x - 3)} = \frac{2}{x^{2} - 1}$

b) $P = \frac{2 x - 6}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3} + \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}} - \frac{6}{x - 3} = \frac{2}{x^{2} - 1} - \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{6}{x - 3}$

$= \frac{2 - 2 x^{2}}{x^{2} - 1} - \frac{6}{x - 3} = \frac{- 2 (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} - \frac{6}{x - 3} = - 2 - \frac{6}{x - 3}$

Vậy viết P dưới dạng $P = a + \frac{b}{x - 3}$ , trong đó a, b là những hằng số.

c) Để P có giá trị nguyên thì $\frac{- 6}{x - 3}$ có giá trị nguyên, khi đó $x - 3$ là ước của 6.

Do đó, $(x - 3) \in$ Ư(6) $= {1; - 1; 2; - 2; 3; - 3; 6; - 6}$

Ta có bảng:

Vậy $x \in {4; 5; 2; 6; 0; 9; - 3}$