Giải bài 6.23 trang 14

Tìm m để phương trình ({x^2} + 4x + m = 0) có hai nghiệm ({x_1},{x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 10).

Đề bài

Tìm m để phương trình $x^{2} + 4 x + m = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm và viết định lí Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$ .

+ Biến đổi

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 10.$

+ Thay $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$ đã tính theo định lí Viète vào biểu thức vừa biến đổi, ta được phương trình ẩn m, từ đó tìm m, đối chiếu với điều kiện của m và đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết

Phương trình có nghiệm khi $Δ^{'} = 4 - m \geq 0$ , tức là $m \leq 4$ .

Theo định lí Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = - 4; x_{1} . x_{2} = m$ .

Do đó:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(- 4)}^{2} - 2 m = 16 - 2 m = 10$

Suy ra, $2 m = 6$ , hay $m = 3$ (thỏa mãn).

Vậy với $m = 3$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.