Giải bài 6.26 trang 14
Ta định nghĩa các hàṃ sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic
Đề bài
Ta định nghĩa các hàṃ sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau: sinhx=12(ex−e−x);coshx=12(ex+e−x)sinhx=12(ex−e−x);coshx=12(ex+e−x)
Chứng minh rằng:
a) sinhxsinhx là hàm số lẻ:;
b) coshxcoshx là hàm số chẵn;
c) (coshx)2−(sinhx)2=1(coshx)2−(sinhx)2=1 với mọi xx.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định nghĩa hàm lẻ, hàm chẵn
Hàm số y=f(x)y=f(x) có tập xác định DD
Hàm số y=f(x)y=f(x) là hàm số lẻ trên D⇔{∀x∈D⇒−x∈Df(−x)=−f(x)D⇔{∀x∈D⇒−x∈Df(−x)=−f(x)
Hàm số y=f(x)y=f(x) là hàm số chẵn trên D⇔{∀x∈D⇒−x∈Df(−x)=f(x)D⇔{∀x∈D⇒−x∈Df(−x)=f(x)
Lời giải chi tiết
a) Hàm số f(x)=sinhxf(x)=sinhx có tập xác định D=R
Ta có ∀x∈D⇒−x∈D
f(x)=sinhx=12(ex−e−x)⇒f(−x)=12(e−x−ex)=−f(x),∀x∈R.
Do đó, sinhx là hàm số lẻ.
b) Hàm số g(x)=coshx có tập xác định D=R
Ta có ∀x∈D⇒−x∈D
g(x)=coshx=12(ex+e−x)⇒g(−x)=12(e−x+ex)=g(x),∀x∈R.
Do đó, coshx là hàm số chẵn.
c) Ta có: (coshx)2−(sinhx)2=14(ex+e−x)2−14(ex−e−x)2=14⋅2e−x⋅2ex=1.