Giải bài 6.27 trang 19

Đề bài

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$b^2{x}^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0$, $\forall x\in R$.

Lời giải chi tiết

Tam thức bậc hai $b^2{x}^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2$ có:

$\Delta =(b^2+c^2-a^2{)}^2-4b^2{c}^2$

$=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)$

$=\left[{(b-c)}^2-a^2\right]\left[{(b+c)}^2-a^2\right]$

$=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)$

$=-(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)$.

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$a+b>c\iff a+b-c>0$;

$b+c>a\iff b+c-a>0$;

$a+c>b\iff a+c-b>0$.

Do đó:

$(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)>0$

$\Rightarrow -(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)<0$

$\Rightarrow \Delta <0$ với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Vì hệ số $a=b^2>0$ và $\Delta <0$ nên BPT $b^2{x}^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0$ nghiệm đúng $\forall x\in R$

Vậy $b^2{x}^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0$, $\forall x\in R$.