Giải bài 6.29 trang 61

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có $\hat{B} < \hat{C}$ . Trên cạnh $A B$ , lấy điểm $D$ sao cho $\hat{A C D} = \hat{B}$ . Cho $A D = 5 c m, B D = 15 c m$ và $C D = 12 c m$ .

a) Chứng minh rằng $A C^{2} = A B . A D$

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$ .

c) Tia phân giác của góc $A$ cắt $C D$ tại $M$ và cắt $B C$ tại $N$ . Tính tỉ số $\frac{A M}{A N}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác $A B C$ và tam giác $A C D$ , ta có:

$\hat{A}$ là góc chung

$\hat{A C D} = \hat{B}$ (gt)

=> $Δ A B C$ ∽ $Δ A C D$ (g-g)

Ta có tỉ số đồng dạng:

$\begin{array}{l} \frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D} \\ A B . A D = A C . A C \\ A C^{2} = A B . A D \end{array}$

b) Vì $Δ A B C$ ∽ $Δ A C D$ nên ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D} = \frac{B C}{C D} \\ \Leftrightarrow \frac{20}{A C} = \frac{A C}{5} = \frac{B C}{12} \end{array}$

Mà

$\begin{array}{l} A C^{2} = A B . A D \\ \Rightarrow A C^{2} = 20.5 \\ \Rightarrow A C^{2} = 100 \\ \Rightarrow A C = 10 \end{array}$

Suy ra $\frac{A C}{5} = \frac{B C}{12} \Leftrightarrow \frac{10}{5} = \frac{B C}{12} \Rightarrow B C = 24$

Vậy tam giác $A B C$ có độ dài các cạnh $A B = 20; A C = 10; B C = 24$

c) Xét tam giác $A M D$ và tam giác $A N C$ , ta có:

$\hat{D A M} = \hat{N A C}$ (do $A N$ là tia phân giác góc A)

$\hat{A D M} = \hat{A C N}$ (do $Δ A B C$ ∽ $Δ A C D$ )

=> $Δ A M D$ ∽ $Δ A C N$ (g-g)

Ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{A M}{A N} = \frac{A D}{A C} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$