Giải bài 6.30 trang 28

Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tập tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

Đề bài

Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) $y = - x^{2} + 6 x - 9$ ;

b) $y = - x^{2} - 4 x + 1$ ;

c) $y = x^{2} + 4 x$ ;

d) $y = 2 x^{2} + 2 x + 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ :

- Xác định tọa độ đỉnh $I (\frac{- b}{a}; \frac{- Δ}{4 a})$ .

- Trục đối xứng $x = \frac{- b}{a}$ .

- Giao với trục $O x$ , $O y$ .

- Xác định tập giá trị của hàm số.

- Từ đồ thị tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) $y = - x^{2} + 6 x - 9$ .

Ta có: $a = - 1$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh $I (3; 0) .$ Trục đối xứng $x = 3$ . Giao điểm của đồ thị với trục $O y$ là: $A (0; - 9)$ . Parabol cắt trục hoành tại $x = 3$ .

Tập giá trị của hàm số là: $(- \infty; 0]$ .

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y = - x^{2} + 6 x - 9$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; 3)$ và nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ .

b) $y = - x^{2} - 4 x + 1$ .

Ta có: $a = - 1$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh $I (- 2; 5)$ . Trục đối xứng $x = - 2$ . Giao điểm của hàm số với trục $O y$ là: $(0; 1)$ . Giao điểm của hàm số với trục $O x$ là: $x = - 2 + \sqrt{5}$ và $x = - 2 - \sqrt{5}$ .

Tập giá trị của hàm số là: $(- \infty; 5]$ .

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y = - x^{2} - 4 x + 1$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ và nghịch biến trên khoảng $(- 2; + \infty)$ .

c) $y = x^{2} + 4 x$ .

Ta có: $a = 1 > 0$ nên parabol quay bề lõm lên trên.

Đỉnh $I (- 2; - 4)$ . Trục đối xứng $x = - 2$ . Giao điểm của hàm số với trục $O y$ là: $(0; 0)$ . Giao điểm của hàm số với trục $O x$ là: $x = 0$ và $x = - 4$ .

Tập giá trị của hàm số là: $[- 4; + \infty)$ .

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y = x^{2} + 4 x$ đồng biến trên khoảng $(- 2; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

d) $y = 2 x^{2} + 2 x + 1$ .

Ta có: $a = 2 > 0$ nên parabol quay bề lõm lên trên.

Đỉnh $I (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ . Trục đối xứng $x = - \frac{1}{2}$ . Giao điểm của hàm số với trục $O y$ là: $(0; 1)$ . Đồ thị hàm số không có giao điểm với trục $O x$ . Lấy điểm $(1; 5)$ thuộc đồ thị hàm số, điểm đối xứng với điểm đó qua trục đối xứng $x = - \frac{1}{2}$ là: $(- 2; 5)$ .

Tập giá trị của hàm số là: $[\frac{1}{2}; + \infty)$ .

Từ đồ thị ta thấy: Hàm số $y = 2 x^{2} + 2 x + 1$ đồng biến trên khoảng $(- \frac{1}{2}; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - \frac{1}{2})$ .