Giải bài 6.31 trang 28

Xác định parabol trong mỗi trường hợp sau

Đề bài

Xác định parabol $(P) : y = a x^{2} + b x + 3$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua hai điểm $A (1; 1)$ và $B (- 1; 0)$ .

b) $(P)$ đi qua điểm $M (1; 2)$ và nhận đường thẳng $x = 1$ làm trục đối xứng.

c) $(P)$ có đỉnh là $I (1; 4) .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) thay các điểm $A (1; 1)$ và $B (- 1; 0)$ vào parabol $(P)$ để giải hệ phương trình tìm $a, b$ .

b) thay điểm $M (1; 2)$ vào parabol $(P)$ và trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a} = 1$ để giải hệ phương trình tìm $a, b$ .

c) thay đỉnh $I (1; 4)$ vào parabol $(P)$ và trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a} = 1$ để giải hệ phương trình tìm $a, b$ .

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết, hai điểm $A (1; 1)$ và $B (- 1; 0)$ thuộc parabol $(P) : y = a x^{2} + b x + 3$ nên ta có: ${\begin{matrix} a + b + 3 = 1 \\ a - b + 3 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = \frac{- 5}{2} \\ b = \frac{1}{2} \end{matrix}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y = - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3.$

b) Parabol nhận $x = 1$ làm trục đối xứng nên $- \frac{b}{2 a} = 1 \Leftrightarrow b = - 2 a .$

Điểm $M (1; 2)$ thuộc parabol nên $a + b + 3 = 2 \Leftrightarrow a + b = - 1.$

Do đó, ta có hệ phương trình: ${\begin{matrix} b = - 2 a \\ a + b = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \end{matrix}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y = x^{2} - 2 x + 3$

c) Parabol có đỉnh $I (1; 4)$ nên ta có:

${\begin{matrix} - \frac{b}{2 a} = 1 \\ a + b + 3 = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} b = - 2 a \\ a + b = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - 1 \\ b = 2 \end{matrix}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y = - x^{2} + 2 x + 3.$