Giải bài 6.31 trang 65

Cho tam giác ABCABCABC vuông tại A có AHAHAH là đường cao.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông tại A có $A H$ là đường cao. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $A B C$ đồng dạng với tam giác $H B A$ ;

b) Tam giác $A B H$ đồng dạng với tam giác $C A H$

c) Cho $B H = 4, C H = 9$ . Tính độ dài đường cao $A H$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác $A B C$ và tam giác $H B A$ , ta có:

$\hat{A} = \hat{B H A} = 90^{\circ}$

$\hat{B}$ là góc chung

=> $Δ A B C$ ∽ $Δ H B A$ (góc nhọn-góc vuông)

b) Xét tam giác $A B H$ và tam giác $C A H$ , ta có:

$\hat{A} = \hat{A H C} = 90^{\circ}$

$\hat{B A H} = \hat{A C H}$ (do $Δ A B C$ ∽ $Δ H B A$ )

=> $Δ A B H$ ∽ $Δ C A H$ (góc nhọn-góc vuông)

c) Vì $Δ A B H$ ∽ $Δ C A H$ , ta có tỉ lệ:

$\begin{array}{l} \frac{B H}{A H} = \frac{A H}{H C} \\ \Leftrightarrow A H^{2} = B H . H C \\ \Rightarrow A H^{2} = 4.9 = 36 \\ \Rightarrow A H = 6 \end{array}$