Giải bài 6.32 trang 65

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $AH$ là đường cao và $A{H}^2=BH.CH$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $HBA$

b) Tam giác $ABC$ vuông tại A.

c) Cho $BH=\frac{5}{13}$, Tính tỉ số chu vi và tỉ số diện tích của $\Delta ABH$ và $\Delta ABC$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{c}A{H}^2=BH.CH\\ AH.AH=BH.CH\\ \frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}\end{array}$

Xét tam giác $ABH$ và tam giác $CAH$, ta có:

$\frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}$

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$ (do $AH$ là đường cao)

=> $\Delta ABH$∽$\Delta CAH$ (cạnh góc vuông-góc vuông)

b) Vì $\Delta ABH$∽$\Delta CAH$, ta có tỉ lệ:

$A{H}^2=BH.CH$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, suy ra tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

c) Ta có:

 $\begin{array}{c}BH=\frac{5}{13}AB\\ \Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{5}{13}\end{array}$

Dựa vào tỉ lệ trên ta có $BH=5;AB=13$

$\Rightarrow AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12$

Chu vi của tam giác $ABH$ là: $AB+BH+HA=13+5+12=30$

Diện tích của tam giác $ABH$ là: $\frac{1}{2}AH.BH=\frac{1}{2}.12.5=30$

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $HBA$, ta có:

$\hat{A}=\widehat{BHA}={90}^{\circ }$

$\hat{B}$ là góc chung

=> $\Delta ABC$∽$\Delta HBA$ (góc nhọn-góc vuông)

Ta có tỉ lệ:

$\begin{array}{c}\frac{AB}{BC}=\frac{AH}{AC}=\frac{HB}{AB}\\ \frac{13}{BC}=\frac{12}{AC}=\frac{5}{13}\\ \Rightarrow BC=33,8;AC=31,2\end{array}$

Chu vi của tam giác $ABC$ là: $AB+BC+AC=13+33,8+31,2=78$

Diện tích của tam giác $ABC$ là: $\frac{1}{2}.AC.AB=\frac{1}{2}.31,2.13=202,8$

Tỉ số chu vi của $\Delta ABH$ và $\Delta ABC$ là: $\frac{30}{78}=\frac{5}{13}$

Tỉ số diện tích của $\Delta ABH$ và $\Delta ABC$ là: $\frac{30}{202,8}=\frac{25}{169}$