Giải bài 6.33 trang 19

Giải các bất phương trình mũ sau: a) 22x−3>1422x−3>14{2^{2x - 3}} > \frac{1}{4}; b) (12)x2≥(12)5x−6(12)x2≥(12)5x−6{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}; c) 25x≤54x−325x≤54x−3{25^x} \le {5^{4x - 3}}; d) 9x−3x−6≤09x−3x−6≤0{9^x} - {3^x} - 6 \le 0.

Đề bài

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) $2^{2 x - 3} > \frac{1}{4}$ ;

b) ${(\frac{1}{2})}^{x^{2}} \geq {(\frac{1}{2})}^{5 x - 6}$ ;

c) $25^{x} \leq 5^{4 x - 3}$ ;

d) $9^{x} - 3^{x} - 6 \leq 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bất phương trình mũ dạng cơ bản có dạng $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} \geq b$ , $a^{x} < b$ , $a^{x} \leq b$ ) với $a > 0$ , $a \neq 1$ .

Xét bất phương trình dạng $a^{x} > b$ :

Nếu $b \leq 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $R$ .

Nếu $b > 0$ thì bất phương trình tương đương với $a^{x} > a^{\log_{a} b}$ .

+) Với $a > 1$ , nghiệm của bất phương trình là $x > \log_{a} b$ .

+) Với $0 < a < 1$ , nghiệm của bất phương trình là $x < \log_{a} b$ .

Chú ý:

Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

Nếu $a > 1$ thì $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ .

Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .

Giải bất phương trình bằng cách giải bất phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết

a) $2^{2 x - 3} > \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2^{2 x - 3} > 2^{- 2}$

$\Leftrightarrow 2 x - 3 > - 2 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$ .

b) ${(\frac{1}{2})}^{x^{2}} \geq {(\frac{1}{2})}^{5 x - 6}$

$\Leftrightarrow x^{2} \leq 5 x - 6 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 3$ .

c) $25^{x} \leq 5^{4 x - 3} \Leftrightarrow 5^{2 x} \leq 5^{4 x - 3}$

$\Leftrightarrow 2 x \leq 4 x - 3 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{2}$ .

d) $9^{x} - 3^{x} - 6 \leq 0 \Leftrightarrow {(3^{x})}^{2} - 3^{x} - 6 \leq 0$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 3^{x} \leq 3 \Leftrightarrow x \leq 1$ .