Giải bài 6.34 trang 20

Cho phương trình: (left( {m + 1} right){x^2} - 3x + 1 = 0). a) Giải phương trình với (m = 1). b) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho là phương trình bậc hai. c) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho: - Có hai nghiệm phân biệt; - Có nghiệm kép; - Vô nghiệm.

Đề bài

Cho phương trình: $(m + 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ .

a) Giải phương trình với $m = 1$ .

b) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho là phương trình bậc hai.

c) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho:

- Có hai nghiệm phân biệt;

- Có nghiệm kép;

- Vô nghiệm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Thay $m = 1$ vào phương trình $(m + 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ , từ đó thu được phương trình ẩn x, giải phương trình đó ta thu được nghiệm của phương trình.

b) Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ là phương trình bậc hai một ẩn.

c) Xét phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ . Tính biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

+ Nếu $Δ > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .

+ Nếu $Δ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$ .

+ Nếu $Δ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết

$(m + 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ (1)

a) Với $m = 1$ vào phương trình (1) ta có: $(1 + 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ , suy ra $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ .

Vì $2 - 3 + 1 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{1}{2}$ .

b) Để phương trình (1) là phương trình bậc hai thì $m + 1 \neq 0$ , suy ra $m \neq - 1$ .

c) Với $m = - 1$ phương trình (1) trở thành: $- 3 x + 1 = 0$ , suy ra $x = \frac{1}{3}$ .

Với $m \neq - 1$ :

Ta có: $Δ = {(- 3)}^{2} - 4.1. (m + 1) = 5 - 4 m$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi $Δ > 0$ , suy ra $5 - 4 m > 0$ , suy ra $m < \frac{5}{4}$ .

Phương trình (1) có nghiệm kép khi $Δ = 0$ , suy ra $5 - 4 m = 0$ , suy ra $m = \frac{5}{4}$ .

Phương trình (1) vô nghiệm khi $Δ < 0$ , suy ra $5 - 4 m < 0$ , suy ra $m > \frac{5}{4}$ .

Vậy với $m < \frac{5}{4}$ , $m \neq - 1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, với $m = \frac{5}{4}$ thì phương trình đã cho có nghiệm kép, với $m > \frac{5}{4}$ thì phương trình đã cho có vô nghiệm.