Giải bài 6.35 trang 20

Tìm hai số u và v, biết: a) (u - v = 2,uv = 255); b) ({u^2} + {v^2} = 346,uv = 165).

Đề bài

Tìm hai số u và v, biết:

a) $u - v = 2, u v = 255$ ;

b) $u^{2} + v^{2} = 346, u v = 165$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Từ $u - v = 2$ ta có: $u = 2 + v$ .

+ Thay $u = 2 + v$ vào $u v = 255$ được phương trình $(2 + v) v = 255$ hay $v^{2} + 2 v - 255 = 0$

+ Tính v của phương trình dựa vào công thức nghiệm thu gọn, từ đó tính được u.

b) + Ta có: ${(u + v)}^{2} = u^{2} + 2 u v + v^{2}$ . Từ đó tính được $u + v$ .

+ Hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4 P \geq 0$ ).

Lời giải chi tiết

a) Từ $u - v = 2$ ta có: $u = 2 + v$ .

Thay $u = 2 + v$ vào $u v = 255$ ta nhận được phương trình $(2 + v) v = 255$ , hay $v^{2} + 2 v - 255 = 0$ .

Ta có: $Δ^{'} = 1^{2} - 1. (- 255) = 256 > 0, \sqrt{Δ} = 16$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm: $v_{1} = \frac{- 1 + 16}{1} = 15; v_{2} = \frac{- 1 - 16}{1} = - 17$ .

Vậy cặp số (u; v) cần tìm là $(17; 15)$ hoặc $(- 15; - 17)$ .

b) Ta có: ${(u + v)}^{2} = u^{2} + 2 u v + v^{2} = 346 + 2.165 = 676$ . Do đó, $u + v = 26$ hoặc $u + v = - 26$ .

Nếu $u + v = 26$ thì hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 26 x + 165 = 0$ .

Ta lại có: $Δ^{'} = {(- 13)}^{2} - 1.165 = 4 > 0, \sqrt{Δ} = 2$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{13 + 2}{1} = 15; x_{2} = \frac{13 - 2}{1} = 11$ .

Nếu $u + v = - 26$ hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - (- 26) x + 165 = 0$ .

Ta có: $Δ^{'} = 13^{2} - 1.165 = 4 > 0, \sqrt{Δ} = 2$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- 13 + 2}{1} = - 11; x_{2} = \frac{- 13 - 2}{1} = - 15$ .

Vậy $(u; v) \in {(11; 15); (15; 11); (- 15; - 11); (- 11; - 15)} .$