Giải bài 6.38 trang 15

Biết x+y+z=0x+y+z=0x + y + z = 0 và x,y≠0.x,y≠0.x,y \ne 0. Chứng minh phân thức xyx2+y2−z2xyx2+y2−z2\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} có giá trị không đổi

Đề bài

Biết $x + y + z = 0$ và $x, y \neq 0.$ Chứng minh phân thức $\frac{x y}{x^{2} + y^{2} - z^{2}}$ có giá trị không đổi

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức rút gọn phân thức để rút gọn phân thức:

+ Rút gọn phân thức là biến đổi phân thức đó thành một biểu thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn

+ Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Lời giải chi tiết

Vì $x + y + z = 0$ nên $z = - (x + y)$

Do đó, $x^{2} + y^{2} - z^{2} = x^{2} + y^{2} - {(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - x^{2} - y^{2} - 2 x y = - 2 x y$

Khi đó, $\frac{x y}{x^{2} + y^{2} - z^{2}} = \frac{x y}{- 2 x y} = \frac{- 1}{2}$

Vậy phân thức $\frac{x y}{x^{2} + y^{2} - z^{2}}$ có giá trị không đổi với $x + y + z = 0$ và $x, y \neq 0.$