Giải bài 6.40 trang 77

Đề bài

Cho $Δ A B C$ có $A D$ là đường trung tuyến. Một đường thẳng $d$ song song với $B C$ cắt $A B, A C$ và $A D$ lần lượt tại $M, N$ và $O$ .

a) Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $M N .$

b) Cho tỉ số của diện tích $Δ A M N$ và $Δ A B C$ là $\frac{4}{9}$ . Chứng minh rằng $O$ là trọng tâm của $Δ A B C .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh.

Trọng tâm của tam giác là giao của ba đường trung tuyến.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác $A B D$ và tam giác $A M O$ , ta có:

$\frac{A M}{A B} = \frac{A O}{A D}$ (do $M O / / B D$ áp dụng định lí Thales)

$\hat{A}$ là góc chung

=> $Δ A B D$ ∽ $Δ A M O$ (cạnh-góc-cạnh)

Ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{A M}{A B} = \frac{A O}{A D} = \frac{M O}{B D}$ (1)

Chứng minh tương tự với tam giác $A N O$ và tam giác $A C D$ , ta được:

$Δ A N O$ ∽ $Δ A C D$ (cạnh-góc-cạnh)

$\frac{A O}{A D} = \frac{A N}{A C} = \frac{O N}{D C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{M O}{B D} = \frac{N O}{C D} = \frac{A O}{A D}$

Mà $B D = C D$ (do $D$ là trung điểm)

=> $M O = N O$

=> O là trung điểm của $M N$ .

Kẻ đường cao $A E$ cắt $M N$ tại $F$ và cắt $B C$ tại $E$ .

Ta có $Δ A M N$ ∽ $Δ A B C$

=> $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = \frac{A F}{A E}$

Diện tích tam giác $A M N$ là: $\frac{1}{2} A F . M N$

Diện tích tam giác $A B C$ là: $\frac{1}{2} A E . B C$

Ta có tỉ số diện tích: $\frac{S_{A M N}}{S_{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} A F . M N}{\frac{1}{2} A E . B C} = \frac{4}{9}$

$\frac{A F . M N}{A E . B C} = \frac{4}{9}$

Mà $\frac{A F}{A E} = \frac{M N}{B C}$

$\begin{array}{l} \frac{A F . M N}{A E . B C} = \frac{4}{9} \\ \frac{2 A F}{2 A E} = \frac{4}{9} \\ \Rightarrow \frac{A F}{A E} = \frac{2}{3} \end{array}$

=> $\frac{A O}{A D} = \frac{2}{3}$

Vậy $O$ là trọng tâm của tam giác $A B C$