Giải bài 6.40 trang 77

Đề bài

Cho $\Delta ABC$ có $AD$ là đường trung tuyến. Một đường thẳng $d$ song song với $BC$ cắt $AB,AC$ và $AD$ lần lượt tại $M,N$ và $O$ .

a) Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $MN.$

b) Cho tỉ số của diện tích $\Delta AMN$ và $\Delta ABC$ là $\frac{4}{9}$ . Chứng minh rằng $O$ là trọng tâm của $\Delta ABC.$ 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác $ABD$ và tam giác $AMO$ , ta có:

 $\frac{AM}{AB}=\frac{AO}{AD}$ (do $MO//BD$ áp dụng định lí Thales)

 $\hat{A}$ là góc chung

=> $\Delta ABD$ ∽ $\Delta AMO$ (cạnh-góc-cạnh)

Ta có tỉ số đồng dạng:

 $\frac{AM}{AB}=\frac{AO}{AD}=\frac{MO}{BD}$ (1)

Chứng minh tương tự với tam giác $ANO$ và tam giác $ACD$ , ta được:

 $\Delta ANO$ ∽ $\Delta ACD$ (cạnh-góc-cạnh)

 $\frac{AO}{AD}=\frac{AN}{AC}=\frac{ON}{DC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 $\frac{MO}{BD}=\frac{NO}{CD}=\frac{AO}{AD}$

Mà $BD=CD$ (do $D$ là trung điểm)

=> $MO=NO$

=> O là trung điểm của $MN$ .

b)

 

Kẻ đường cao $AE$ cắt $MN$ tại $F$ và cắt $BC$ tại $E$ .

Ta có $\Delta AMN$ ∽ $\Delta ABC$

=> $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AF}{AE}$

Diện tích tam giác $AMN$ là: $\frac{1}{2}AF.MN$

Diện tích tam giác $ABC$ là: $\frac{1}{2}AE.BC$

Ta có tỉ số diện tích: $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AF.MN}{\frac{1}{2}AE.BC}=\frac{4}{9}$

$\frac{AF.MN}{AE.BC}=\frac{4}{9}$

Mà $\frac{AF}{AE}=\frac{MN}{BC}$

=>

 $\begin{array}{c}\frac{AF.MN}{AE.BC}=\frac{4}{9}\\ \frac{2AF}{2AE}=\frac{4}{9}\\ \Rightarrow \frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}\end{array}$

=> $\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$

Vậy $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$