Giải bài 6.41 trang 15

a) Rút gọn biểu thức (P = frac{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}{x}.left( {1 - frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} right) - frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x})

Đề bài

a) Rút gọn biểu thức $P = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Sử dụng kiến thức cộng (trừ) các phân thức khác mẫu để cộng (trừ) phân thức: Quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

+ Sử dụng kiến thức nhân hai phân thức để thực hiện phép tính: Nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A . C}{B . D}$

b) Sử dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất để tìm giá trị lớn nhất của P: Đưa P về dạng: $P \leq m$ (với m là hằng số) thì P đạt giá trị lớn nhất là m.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: $x \neq 0; x \neq - 2$

$P = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$ $= \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

$= \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . \frac{x + 2 - x^{2}}{x + 2} - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$ $= \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . \frac{- (x + 1) (x - 2)}{x + 2} - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

$= \frac{- (x + 1) (x - 2) (x + 2)}{x} - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x} = \frac{- (x + 1) (x^{2} - 4) - x^{2} - 6 x - 4}{x}$

$= \frac{- x^{3} - x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 6 x - 4}{x} = \frac{- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x}{x}$ $= \frac{- x (x^{2} + 2 x + 2)}{x} = - x^{2} - 2 x - 2$

b) Ta có: $P = - x^{2} - 2 x - 2 = - (x^{2} + 2 x + 1) - 1 = - {(x + 1)}^{2} - 1 \leq - 1.$

Dấu “=” xảy ra khi $x + 1 = 0$ hay $x = - 1$

Vậy giá trị lớn nhất của P là -1 tại $x = - 1$