Giải bài 6.41 trang 15

Đề bài

a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

b) Tìm giá trị lớn nhất của P. 

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: $x\ne 0;x\ne -2$

$P=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(\frac{x+2}{x+2}-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\frac{x+2-x^2}{x+2}-\frac{x^2+6x+4}{x}$$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\frac{-\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x+2}-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{-\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x}-\frac{x^2+6x+4}{x}=\frac{-\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)-x^2-6x-4}{x}$

$=\frac{-x^3-x^2+4x+4-x^2-6x-4}{x}=\frac{-x^3-2x^2-2x}{x}$$=\frac{-x\left(x^2+2x+2\right)}{x}=-x^2-2x-2$

b) Ta có: $P=-x^2-2x-2=-\left(x^2+2x+1\right)-1=-{\left(x+1\right)}^2-1\le -1.$

Dấu “=” xảy ra khi $x+1=0$ hay $x=-1$

Vậy giá trị lớn nhất của P là -1 tại $x=-1$