Giải bài 6.41 trang 77

Cho ΔABCΔABC\Delta ABC có AB=9cm,AC=12cmAB=9cm,AC=12cmAB = 9cm,AC = 12cm và BC=15cm.BC=15cm.BC = 15cm.

Đề bài

Cho $Δ A B C$ có $A B = 9 c m, A C = 12 c m$ và $B C = 15 c m .$ Trên cạnh $A B$ lấy điểm $M$ sao cho $A M = 4 c m$ và trên cạnh $A B$ lấy điểm $N$ sao cho $A N = 3 c m$ . Gọi $O$ là giao điểm của $C M$ và $B N$ . Chứng minh rằng:

a) $Δ A B N ∽ Δ A C M;$

b) $Δ B M O ∽ Δ C N O;$

c) $Δ B O C ∽ Δ M O N;$

d) $C M$ là tia phân giác của góc $A C B$ và $Δ M B N$ cân tại $M .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác $A B N$ và tam giác $A C M$ , ta có:

$\frac{A B}{A C} = \frac{A N}{A M} = \frac{3}{4}$

$\hat{A}$ là góc chung

=> $Δ A B N$ ∽ $Δ A C M$ (cạnh-góc-cạnh)

b) Xét hai tam giác $B M O$ và tam giác $C N O$ , ta có:

$\hat{M B O} = \hat{N C O}$ (do $Δ A B N$ ∽ $Δ A C M$ )

$\hat{M O B} = \hat{N O C}$ (hai góc đối đỉnh)

=> $Δ B M O$ ∽ $Δ C N O$ (góc-góc)

c) Vì $Δ B M O$ ∽ $Δ C N O$ , ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{O B}{O C} = \frac{M O}{N O} \Rightarrow \frac{O B}{N O} = \frac{O C}{N O}$

Xét tam giác $B O C$ và tam giác $M O N$ , ta có:

$\frac{O B}{N O} = \frac{O C}{N O}$

$\hat{M O B} = \hat{C O N}$ (hai góc đối đỉnh)

=> $Δ B O C$ ∽ $Δ C N O$ (cạnh-góc-cạnh)

d) Xét tam giác $A B C$ , ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A C}{B C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \\ \frac{A M}{M B} = \frac{4}{5} \\ => \frac{A C}{B C} = \frac{A M}{M B} = \frac{4}{5} \end{array}$

=> $C M$ là tia phân giác của tam giác $A B C$ .

Lại có:

$\hat{N C M} = \hat{M C B}$ (do CM là tia phân giác)

Mà $\hat{N C M} = \hat{M B N}$ (do $Δ B M O$ ∽ $Δ C N O$ )

Suy ra $\hat{M C B} = \hat{M B N}$

Mà $\hat{M C B} = \hat{M N B}$ (do $Δ B O C$ ∽ $Δ C N O$ )

Suy ra $\hat{M B N} = \hat{M N B}$

Vậy tam giác $M B N$ là tam giác cân tại $M$ .