Giải bài 6.5 trang 43

Đề bài

Cho hai biến cố A và B với $P\left(A\right)>0$, $P\left(B\right)>0$. Chứng minh rằng nếu $P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$ thì $A,B$ độc lập.

Lời giải chi tiết

Giả sử $P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$ với $P\left(A\right)>0,P\left(A\right)>0$.

Ta có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)}{P\left(B\right)}=P\left(A\right)$; $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)}{P\left(A\right)}=P\left(B\right)$.

Suy ra việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.

Do đó A và B độc lập.