Giải bài 6.54 trang 22

Giải các phương trình

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) $32^{\frac{x + 5}{x - 7}} = 0, 25 \cdot 128^{\frac{x + 17}{x - 3}}$

b) $l o g_{2} x + l o g_{2} (x - 1) = 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất của lũy thừa, quy tắc tính lôgarit để đưa về cùng cơ số

Biến đổi, quy về cùng cơ số

$a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow a = 1$ hoặc ${\begin{cases} 0 < a \neq 1 \\ f (x) = g (x) \end{cases}$ .

$\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Leftrightarrow f (x) = g (x) > 0$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: $x \neq 3, x \neq 7$ . Khi đó, ta có:

$32^{\frac{x + 5}{x - 7}} = 0, 25 \cdot 128^{\frac{x + 17}{x - 3}} \Leftrightarrow 2^{5^{\frac{x + 5}{x - 7}}} = 2^{- 2} \cdot 2^{7 \frac{x + 17}{x - 3}} \Leftrightarrow 2^{\frac{5 (x + 5)}{x - 7}} = 2^{- 2 + \frac{7 (x + 17)}{x - 3}}$

$\Leftrightarrow \frac{5 (x + 5)}{x - 7} = - 2 + \frac{7 (x + 17)}{x - 3}$

$\Leftrightarrow 5 (x + 5) (x - 3) = - 2 (x - 7) (x - 3) + 7 (x + 17) (x - 7) \Leftrightarrow x = 10$

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là $x = 10$ .

b) Điều kiện: $x > 1$ . Khi đó, ta có:

$l o g_{2} x + l o g_{2} (x - 1) = 1 \Leftrightarrow l o g_{2} x (x - 1) = 1 \Leftrightarrow x (x - 1) = 2 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0$ .

Giải phương trình trên ta được hai nghiệm $x_{1} = - 1, x_{2} = 2$ .

Chỉ có nghiệm $x = 2$ thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 2$ .