Giải bài 6.9 trang 16

Đề bài

Xác định parabol $y = a x^{2} + b x + 1$ , trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua 2 điểm A(1; 0) và B(2; 4).

b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng $x = 1$ .

c) Có đỉnh I(1; 2).

d) Đi qua điểm C(-1; 1) và có tung độ đỉnh -0,25.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ có:

- Đỉnh là điểm $I (\frac{- b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$ .

- Trục đối xứng là đường thẳng $x = \frac{- b}{2 a}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + 1$ đi qua điểm A(1; 0) nên:

$a {.1}^{2} + b .1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = - 1$ .

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + 1$ đi qua điểm B(2; 4) nên:

$a {.2}^{2} + 2 b + 1 = 4 \Leftrightarrow 4 a + 2 b = 3$ .

Từ 2 phương trình trên, ta có $a = \frac{5}{2}; b = \frac{- 7}{2}$ .

=> Hàm số cần tìm là $y = \frac{5}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x + 1$ .

b) Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + 1$ đi qua điểm A(1; 0) nên:

$a {.1}^{2} + b .1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = - 1$ .

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + 1$ có trục đối xứng x = 1.

$\frac{- b}{2 a} = 1 \Leftrightarrow - b = 2 a \Leftrightarrow 2 a + b = 0$ .

Từ 2 phương trình trên, ta có $a = 1; b = - 2$ .

=> Hàm số cần tìm là $y = x^{2} - 2 x + 1$ .

c) Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + 1$ có đỉnh $I (1; 2)$ nên:

$\frac{- b}{2 a} = 1 \Leftrightarrow - b = 2 a \Leftrightarrow 2 a + b = 0$ .

$a {.1}^{2} + b .1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1$ .

Từ 2 phương trình trên, ta có $a = - 1; b = 2$ .

=> Hàm số cần tìm là $y = - x^{2} + 2 x + 1$ .

d) Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + 1$ đi qua điểm C(-1; 1) nên:

$a . (- 1)^{2} + b . (- 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$ .

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + 1$ có tung độ đỉnh là -0,25 nên:

$\frac{- Δ}{4 a} = - 0, 25 \Leftrightarrow - \frac{b^{2} - 4. a .1}{4 a} = - 0, 25$

$\Leftrightarrow b^{2} - 4 a = a \Leftrightarrow b^{2} = 5 a$ .

Thay a = b ta có:

$b^{2} = 5 b \Leftrightarrow b = 0$ hoặc $b = 5$ .

Vì $a \neq 0$ nên $a = b = 5$ .

=> Hàm số cần tìm là $y = 5 x^{2} + 5 x + 1$ .