Giải bài 6 trang 107

Đề bài

Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD, ME sao cho

$\frac{M{A}^{\prime }}{MA}=\frac{M{B}^{\prime }}{MB}=\frac{1}{3},\frac{C{C}^{\prime }}{MC}=\frac{D{D}^{\prime }}{MD}=\frac{2}{3},\frac{M{E}^{\prime }}{E^{\prime }E}=\frac{1}{2}$. Chứng minh ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.

Lời giải chi tiết

Từ $\frac{M{A}^{\prime }}{MA}=\frac{M{B}^{\prime }}{MB}=\frac{1}{3},\frac{C{C}^{\prime }}{MC}=\frac{D{D}^{\prime }}{MD}=\frac{2}{3},\frac{M{E}^{\prime }}{E^{\prime }E}=\frac{1}{2}$ suy ra:

$\frac{M{A}^{\prime }}{MA}=\frac{M{B}^{\prime }}{MB}=\frac{M{C}^{\prime }}{MC}=\frac{M{D}^{\prime }}{MD}=\frac{M{E}^{\prime }}{ME}=\frac{1}{3}.$     (1)

Do đó: A’B’ // AB, B’C’ // BC, C’D’ // CD, D’E’ // DE, E’A’ // EA (định lí Thalès đảo).

Do A’B’ // AB nên $\widehat{M{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\widehat{MAB}$ (đồng vị);

Do E’A’ // EA nên $\widehat{M{A}^{\prime }{E}^{\prime }}=\widehat{MAE}$(đồng vị);

Suy ra $\widehat{M{A}^{\prime }{B}^{\prime }}+\widehat{M{A}^{\prime }{E}^{\prime }}=\widehat{MAB}+\widehat{MAE}$ hay $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{E}^{\prime }}=\widehat{BAE}$.

Chứng minh tương tự, ta được các góc A’, B’, C’, D’, E’ của ngũ giác A’B’C’D’E’ tương ứng bằng các góc A, B, C, D, E của ngũ giác đều ABCDE.

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên góc A, B, C, D, E của ngũ giác bằng nhau.

Do đó các góc của ngũ giác A’B’C’D’E’ bằng nhau. (2)

Mặt khác, từ (1) ta cũng chứng minh được:

$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{AB}{3};B^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{BC}{3};C^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{CD}{3};$

$D^{\prime }{E}^{\prime }=\frac{DE}{3};E^{\prime }{A}^{\prime }=\frac{EA}{3}$.

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Do đó: A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’E’ = E’A’. (3)

Từ (2) và (3) suy ra ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.