Giải bài 6 trang 113 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng (AH = 2OM).

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $A H = 2 O M$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC.

+ Chứng minh $\hat{A O N} = \frac{\hat{A O C}}{2} = \hat{A B C}$ , suy ra $\hat{N A O} = 90^{o} - \hat{A O N} = 90^{o} - \hat{A B C} = \hat{D A H}$ .

+ Chứng minh tương tự ta có: $\hat{M C O} = 90^{o} - \hat{M O C} = \hat{D C A}$

+ Chứng minh $Δ N A O ∽ Δ D A H (g . g)$ , suy ra $A H = \frac{A O . D A}{A N} = \frac{2 A O . D A}{A C} .$

+ Chứng minh $Δ O M C ∽ Δ A D C (g . g)$ nên $2 O M = \frac{2 O C . A D}{A C} = \frac{2 O A . D A}{A C} = A H$

Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC. Khi đó tam giác AOC cân tại O nên ON cũng là phân giác của góc AOC. Vậy $\hat{A O N} = \frac{\hat{A O C}}{2} = \hat{A B C}$ .

Suy ra $\hat{N A O} = 90^{o} - \hat{A O N} = 90^{o} - \hat{A B C} = \hat{D A H}$ .

Tương tự $\hat{M C O} = 90^{o} - \hat{M O C} = \hat{D C A}$ .

Hai tam giác NAO và DAH có: $\hat{N A O} = \hat{D A H}$ (chứng minh trên), $\hat{A N O} = \hat{A D H} = 90^{o}$ . Do đó, $Δ N A O ∽ Δ D A H (g . g)$ . Suy ra $\frac{A O}{A H} = \frac{A N}{D A}$ , hay $A H = \frac{A O . D A}{A N} = \frac{2 A O . D A}{A C} . (1)$

Hai tam giác OMC và ADC có: $\hat{M C O} = \hat{D C A}$ (chứng minh trên), $\hat{O M C} = \hat{A D C} = 90^{o}$ .

Do đó, $Δ O M C ∽ Δ A D C (g . g)$ . Suy ra $\frac{O M}{A D} = \frac{O C}{A C}$ . Do đó

$2 O M = \frac{2 O C . A D}{A C} = \frac{2 O A . D A}{A C} = A H$ (theo (1)).